轿车与山羊选择的问题

[whucv]

1990年，美国《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏的主持人玛莉莲·莎凡收到了一名读者的提问：假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇。其中一扇后面有一辆汽车，其余两扇后面则是山羊。你选择了一扇门，假设是1号门，然后知道门后面有什么的主持人开启了另一扇后面有山羊的门，假设是3号门。他然后问你：“你想选择2 号门吗？”那么，你是否应该改变原来的选择呢？

这个问题源自美国电视娱乐节目“让我们做个交易”(Let’s Make a Deal)，后来被冠以节目主持人的名字：蒙提·霍尔问题，也被称为“汽车与山羊问题”。玛莉莲的智商为228，是智商的吉尼斯记录保持者，她主持的节目因很受读者欢迎。她对这一问题的解答是应该换，因为换了之后有2／3的概率赢得汽车，不换的话概率只有1／3。

她的这一解答引来了几千封读者信件，其中反对者达九成。大部分读者认为这个答案太荒唐了。有人甚至说，如果这个解答代表了美国人的智力，那美国就没希望了。因为直觉告诉人们，既然参赛者是从三扇门中任选一扇，那么一开始选中汽车的概率是1／3。当主持人打开了有山羊的3号门后，那么1号门和2号门后有汽车的概率就都变成了1／2，完全没有必要改变原来的选择。

玛丽莲在接下来的二期专栏中对她的结论给予了开玩笑式的解释：假如当主持人打开那个有山羊的门后，有外星人忽然来到台上选。他在能选的两个门中任选一个，有车的概率确实都是50%。但你不是刚到，你有优势，因为主持人帮助过你了，他为你在其余两个门中作了预选。你换了后，概率就由三分之一提高到三分之二了。

但反对者更多了。其中包括全国健康机构的统计学家，国防情报中心的副主任，著名的美籍匈牙利数学家保罗·埃尔笛希（Paul Erdos）也是反对者之一。

玛莉莲面对这么多数学家的怀疑眼光，不再解释什么道理，而是请全美国的小朋友帮她做实验，用三张扑克牌和玩具小汽车来模仿这个游戏。结果小朋友们做了好多次的实验，得到的结论与玛莉莲的说法是一致的，应该改变原来的选择。“事实胜于雄辩”，那些数学家们也无话可说了，只好去找自己的错误在哪里。

随后，包括《纽约时报》和数学期刊在内的众多媒体对这一问题展开了全国大讨论。在十年时间里，至少有40篇论文或专著探讨了这一问题。


第一眼看到这个题目，我的答案就是，既然只能在轿车和山羊里选一个，又没有额外信息，那么当然都是1/2了。



第一次选中轿车，坚持，此时拿到轿车的概率1/3。

第一次没有选中轿车的概率为2/3。现在只剩下轿车和山羊，既然主持人选择了山羊，选手只能选择剩下的轿车。所以，改变选择选到车的概率为2/3。

为什么会出现这种情况？因为玛丽莲小姐做了一个假定——主持人必然选择山羊。现假设坚持选择和改变选择的概率非别为a、（1-a).



第一次选中轿车，坚持选择拿到轿车，概率1/3*a=a/3.

第一次选中山羊，主持人选择山羊，改变选择拿到轿车2/3*(1-a)=2*(1-a)/3

第一次选择山羊，坚持,拿不到轿车，概率2/3*a=2*a/3.

第一次选择轿车，改变，拿不到轿车1/3*(1-a)=(1-a)/3

拿到轿车概率a/3+2*(1-a)/3 =(2-a)/3(0<=a<=1)

拿不到轿车概率2*a/3+(1-a)/3 =(1+a)/3(0<=a<=1)

此时可以看到，拿到轿车的概率是与做出选择相关的，

当a为0，也就是第二次进行改变，此时拿到轿车的概率最高为2/3,

当a为1，也就是坚持原来的选择，此时拿到轿车的概率最低位1/3.

这道题是在已知拿到轿车的情况下，判断是坚持还是改变的可能性更大。