亚马逊三面的面试题

[wutongye]

桶中有M个白球，小明每分钟从桶中随机取出一个球，涂成红色（无论白或红都涂红）再放回，问小明将桶中球全部涂红的期望时间是？

[骑着乌龟去看海]

好吧，我的数学一毕业就还给我亲爱的老师了....

[project2502]

竟然要这么难？！。。。。。

[project2502]

lz 你是去面试纯算法吗

[绿领巾童鞋]

有一个问题：高中的期望值的公式是什么，忘记了

[climber2012]

[Quote=引用 10 楼 的回复:]

改一下：
E(total)=E(1)+E(2)+...+E(M)=M(1+1/2+1/3+...+1/M)=M*(ln(M)+O(1))
[/Quote]E(total)=E(1)+E(2)+...+E(M)=M(1+1/2+1/3+...+1/M)=M*(ln(M)+C) 其中C叫做欧拉常数并且等于0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数

[smsgreenlife]

设Xk为：在有k个白球和M-k个红球时，把一个白球涂红（变成k-1个白球M-k+1个红球）所需的时间，则有：
E（Xk）=M/k(直接用期望的定义求，结果是一个无穷项的幂级数，然后求幂级数的和);那么总的时间就是E1+E2+...+EM=M(1+1/2+1/3+...+1/M)
[Quote=引用 11 楼 的回复:]
引用 5 楼 的回复:

这道题还是有点技巧性的，需要用到数学期望的一个性质，最后用幂级数求解，推导过程有点复杂，有很多公式没法输入，这里给出结果，应该是正确答案。
如果楼主需要，我可以详细说明！
结果是：M（1+1/2+1/3+.....+1/M）


期待你给一个证明啊
[/Quote]

[wutongye]

[Quote=引用 5 楼 的回复:]

这道题还是有点技巧性的，需要用到数学期望的一个性质，最后用幂级数求解，推导过程有点复杂，有很多公式没法输入，这里给出结果，应该是正确答案。
如果楼主需要，我可以详细说明！
结果是：M（1+1/2+1/3+.....+1/M）
[/Quote]

期待你给一个证明啊

[hackbuteer1]

概率题有些抽象啊

[I_ask_who]

E(1)=1 //拿到第一个白球并将它涂红的期望时间
E(2)=M/M-1 //拿到第2个白球并将它涂红的期望时间
E(3)=M/M-2 //拿到第3个白球并将它涂红的期望时间
...
E(M)=M/1 //拿到第3个白球并将它涂红的期望时间

E(total)=E(1)+E(2)+...+E(M)=M(1+1/2+1/3+...+1/M-1)=M*ln(M)

尽是数学题，编程技术就不值钱吗？

[I_ask_who]

改一下：
E(total)=E(1)+E(2)+...+E(M)=M(1+1/2+1/3+...+1/M)=M*(ln(M)+O(1))

[imfam520]

M（1+1/2+1/3+.....+1/M）

[Flammable_ice]

[Quote=引用 9 楼 的回复:]
E(1)=1 //拿到第一个白球并将它涂红的期望时间
E(2)=M/M-1 //拿到第2个白球并将它涂红的期望时间
E(3)=M/M-2 //拿到第3个白球并将它涂红的期望时间
...
E(M)=M/1 //拿到第3个白球并将它涂红的期望时间

E(total)=E(1)+E(2)+...+E(M)=M(1+1/2+1/3+...+1/M-1)=M*ln(M)

尽是数学题，编程技……
[/Quote]
这个是对的，我透露下E(x)的通项公式（包含未被化简的项）：(m/(m-x))(1-(x/m)^n)-(x^n/m^n)*n
对上面的通项公式取极限n->正无穷大 得：m/(m-x)，这样就得到了上面那个结论。如果想要知道这个通项公式的由来，请回复我额。O(∩_∩)O

[Flammable_ice]

假设桶中已有x个红球。设从桶中拿球再涂色再放回桶中需要单位时间t.在第x+1个白球被涂红之前，我们来分析一下:
只进行了一次取球操作就能拿到白球并且涂红：有(m-x)/m的几率拿到白球（所用时间为((m-x)/m)*t)，有x/m的几率拿到红球。在拿到白球后，我们只需要t个时间就可以完成对第x+1个白球涂红(所用时间为(m-x)/m*t).

还要进行第二次取球操作就能拿到白球并且涂红：而如果我拿到红球的话，需要我再次从桶中拿球，拿到红球的几率就是(x/m)^2，拿到白球的几率是((m-x)/m)*x/m,同理再拿到白球后就不需要再次拿球（所用时间为((m-x)/m)*x/m*2t)。

还要进行第三次取球操作就能拿到白球并且涂红：拿到红球的几率是（(x/m)^3），拿到白球的几率是((m-x)/m)*(x/m)^2),再拿到白球后就不需要再次拿球(所用时间为((m-x)/m)*(x/m)^2*3t)。

......

还要进行第n次取球操作就能拿到白球并且涂红：拿到红球的几率是（(x/m)^n），拿到白球的几率是((m-x)/m)*(x/m)^(n-1)),再拿到白球后就不需要再次拿球(所用时间为((m-x)/m)*(x/m)^(n-1)*nt)。

所以在第x+1个白球被涂红之后，所花费的时间为：
所以期望时间为：E(x+1)=((m-x)/m)*t+((m-x)/m)*x/m*2t+((m-x)/m)*(x/m)^2*3t+...((m-x)/m)*(x/m)^(n-2)*(n-1)t+((m-x)/m)*(x/m)^(n-1)*nt+....
对上面式子进行化简：
m*E(x+1)=(m-x)*t(1+(x/m)*2+(x/m)^2*3+...(x/m)^(n-2)*(n-1)+(x/m)^(n-1)*(n)+....) (m)式
x*E(x+1)=(m-x)*t( (x/m)*1+(x/m)^2*2+... +(x/m)^(n-1)*(n-1)+(x/m)^n*(n)) (x)式
(m)式-(x)式：(m-x)*E(x+1)=(m-x)*t(1+(x/m)+(x/m)^2+(x/m)^(n-1)-((x/m)^n)*n)
E(x+1)=t*(1*(1-(x/m)^n)/(1-x/m)-((x/m)^n)*n)
E(x+1)=t*(m*(1-(x/m)^n)/(m-x)-((x/m)^n)*n)
E(x+1)=t*((m/(m-x))*(1-(x/m)^n)-((x/m)^n)*n)
E(x+1)=t*((m/(m-x)-(m/(m-x))*(x/m)^n-((x/m)^n)*n)
E(x+1)=t*((m/(m-x)-(x/m)^n*((m/(m-x))+n))
x<=m //第x次白球涂红不能超过球的个数
设y(n)=(x/m)^n*((m/(m-x))+n) (x<=m)
设a=x/m(a<=1)带入y(n)=(a^n)*((1/(1-a))+n)=(a^n)*(1/(1-a))+(a^n)*n)
y(n)=lim(n->无穷大)=0*(1/(1-a))+(a^n)*n(因为a是常数)=(a^n)*n=0*无穷大=无穷大/无穷大
应用洛必达法则：=1/(a^(-n)lna(-1))当x->正无穷大a^(-n)=(1/a)^n, (1/a)>1 ,a^(-n)->无穷大
又因为设b=1/lna(-1)>0（并且是常数） 所以y(n)=lim(n->无穷大)=b/无穷大=0
所以E(x+1)=t*(m/(m-x)-0)=(m/(m-x))*t
所以 E(1)=m/(m-0)*t=t
E(2)=m/(m-1)*t
E(3)=m/(m-2)*t
....
E(m)=m/(m-(m-1))*t=mt
所以E=E(1)+E(2)+E(3)+...E(m)=m(1/m+1/(m-1)+1/(m-2)+...+1/1)=mln(m)
//如果楼主数学基础比较好的话，相信你能看懂我写的。这就是楼上几位所说的复杂的数学公式推导。
用到了极限，数列，还有数学期望，概率等知识。

[H美好未来H]

M*(ln(M)+C) 证明有点复杂啊

[狂啃馍馍]

要是工作时间很长了，这些基础有没有打的很扎实，各位请问还有必要再重新学习一遍吗？

[ppsharp]

大学数学早就忘光了。 九霄云外了。

[zhf24148517]

引用 27 楼 cfwyy 的回复:

弱弱的问一句 什么叫期望时间?

...我也忘了，貌似概率与统计里学过？...

[lifeisshortyouneed]

弱弱的问一句 什么叫期望时间?

[赵4老师]

《概率论与数理统计》

[jiacye13]

信息量很大啊。。。一说期望怎么感觉数学没有学呢。。。