关于Growth of Functions

[dracularking]

这三种notation定义如上，但我怎么觉得这三个表示法彼此是可以互换的，比方说


可以这样表示


是因为可以找到c1,c2,n0


但同样地，如果要表示为O(n^2)，也可以找到c,n0

那究竟什么时候用Theta，什么时候用BigO，什么时候用Omega呢

[FancyMouse]

n = O(n^2)的时候另两个用不了 n^2 = Omega(n)的时候另两个用不了 f = O(g) = Omega(g)的时候等价于f = Theta(g)。

[dracularking]

引用 1 楼 FancyMouse 的回复:

n = O(n^2)的时候另两个用不了 n^2 = Omega(n)的时候另两个用不了 f = O(g) = Omega(g)的时候等价于f = Theta(g)。

谢谢，不过还是不太明白，咱们集中说为什么n = O(n^2)的时候另两个用不了的问题吧，难道这时候找不到一个存在的c1 让f(n)>=c1g(n)吗 很难想象啊 因为f(n)下限>=0，没有更多限制了，无法直接证明f(n)>=c1g(n)不成立

[FancyMouse]

引用 2 楼 dracularking 的回复:

引用 1 楼 FancyMouse 的回复:n = O(n^2)的时候另两个用不了 n^2 = Omega(n)的时候另两个用不了 f = O(g) = Omega(g)的时候等价于f = Theta(g)。 谢谢，不过还是不太明白，咱们集中说为什么n = O(n^2)的时候另两个用不了的问题吧，难道这时候找不到一个存在的c1 让f(n)>=c1g(n)吗 很难想象……

如果f(n)=n, g(n)=n^2。f(n) = O(g(n))没有问题，取N=1, c=1就可以做到f(n)=n<=c*n*n=c*g(n)。 g(n)=O(f(n))不成立。因为对于任何c，我取n为某一个大于c的整数，g(n)=n^2>c*n=c*f(n)。所以没有任何一个c满足要求，g(n)=O(f(n))不成立。

[FancyMouse]

>因为对于任何c，我取n为某一个大于c的整数，g(n)=n^2>c*n=c*f(n) 说详细一点，n取任何大于c的整数都能让不等号反向。所以对于任何c都不存在对应的N。所以g(n)=O(f(n))不成立。

[dracularking]

引用 3 楼 FancyMouse 的回复:

如果f(n)=n, g(n)=n^2。f(n) = O(g(n))没有问题，取N=1, c=1就可以做到f(n)=n<=c*n*n=c*g(n)。 g(n)=O(f(n))不成立。因为对于任何c，我取n为某一个大于c的整数，g(n)=n^2>c*n=c*f(n)。所以没有任何一个c满足要求，g(n)=O(f(n))不成立。

明白了，这个就其实相当于比较只能基于最高相同指数幂的系数中间，函数的增长潜力这样比才能体现出来 换句话说， (1/2)*n^2 - 3n 也可以 = O(n^2) 和 Omega(n^2) 吧

[FancyMouse]

引用 5 楼 dracularking 的回复:

引用 3 楼 FancyMouse 的回复:如果f(n)=n, g(n)=n^2。f(n) = O(g(n))没有问题，取N=1, c=1就可以做到f(n)=n<=c*n*n=c*g(n)。 g(n)=O(f(n))不成立。因为对于任何c，我取n为某一个大于c的整数，g(n)=n^2>c*n=c*f(n)。所以没有任何一个c满足要求，g(n)=O(f(n))不成立。 ……

>明白了，这个就其实相当于比较只能基于最高相同指数幂的系数中间，函数的增长潜力这样比才能体现出来 对于多项式是这样。但是O符号可以针对任意函数。 >(1/2)*n^2 - 3n 也可以 = O(n^2) 和 Omega(n^2) 吧 是