关于凸函数的性质证明

[dianyancao]

如何根据下述两个条件，证明或否定下述结论呢？

[FancyMouse]

这个f不是凸函数，是中点凸函数。f是不可测函数的话有反例。不过反例要用不可测度函数来构造，图是画不出来的。 如果f是可测函数，或者更正常点的连续函数的话，那这个结论就成立的。比如是连续函数的话，那就用p*x1/2^a + q*x2/2^b的这系列数去逼近t应该就能证出来。

[dianyancao]

是不是总是可以用分段多项式来逼近任意的连续函数曲线？ 假设上述函数只在有限个点没有二阶导数，这些不可导点将函数隔断成每一个可导的区间 然后对分段多项式应用拉格朗日中值公式，得到分段逼近多项式的二阶导数大于零 因此在分段区间内，该函数图形是凸弧，即一阶导数单调递增 是否总是可以将连续的两个相邻分段区间内的多项式，整合成一个多项式呢？

[FancyMouse]

可导的话直接中值定理就出来了。我说的是连续不可导的时候可以逼近。

[dianyancao]

不可导的时候，下面的证明有没有错误？ 要证明上图的线段L位于函数曲线弧上端 取该线段的中点x轴值对应的函数值点((x1+x2)/2,f((x1+x2)/2))，与线段的两个端点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))做三角形T 那么得到三角形T的另外两条边E1,E2位于线段L的下方 再次取三角形T的一条边E1或E2,作为线段L重复以上过程，就能用二分法证明函数曲线弧上的每一个点都位于线段L的下方？

[dianyancao]

[dianyancao]

谢谢FancyMouse，erqieshi 应用时函数f一般是连续的，所以证明了有理数时成立，能得到该函数是凸函数了

[erqieshi]

二分法得出的是有理数上的点 用2进制表示 0.1 1/2 0.01 1/4 0.10 2/4 0.11 3/4 0.001 1/8 0.010 2/8 ... 这样的点的测度为0

[erqieshi]

而其他测度为(x2-x1)的所有点二分法证明不了 有理数只占实数的极少部分(零测度集) 是可以忽略不计的那部分

[erqieshi]

其实就是证明 对域内任意的的x1!=x2 满足 f(a*x1 + (1-a)*x2)<a*f(x1)+(1-a)*f(x2)成立 0<a<1 容易证明a是有理数时成立 难的是证明a是实数时也成立

[FancyMouse]

引用 4 楼 dianyancao 的回复:

不可导的时候，下面的证明有没有错误？ 要证明上图的线段L位于函数曲线弧上端 取该线段的中点x轴值对应的函数值点((x1+x2)/2,f((x1+x2)/2))，与线段的两个端点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))做三角形T 那么得到三角形T的另外两条边E1,E2位于线段L的下方 再次取三角形T的一条边E1或E2,作为线段L重复以上过程，就能用二分法证明函数曲线弧上的每一个点都位于线段L的下方？

连续的话就是这个思路。