单源最短路径算法中松弛的概念，不是很懂？

伢之国 2013-06-10 09:09:39

请前辈们教教我，我对单源最短路径算法中松弛技术的理解不是很到位，，请各位前辈说说你们对松弛的理解，如果能形象的解释一下就更好了，谢谢
（还有就是，我是新来的，不知道要请教算法问题的帖子应该发表在哪个版块，？）

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hugett 2013-06-10

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松弛操作就是有一条边(u,v)，而源到点u的距离d[u]已经确定，然后通过判断是否能经过u获得到点v的更短的路径。。d[v] = min(d[v], d[u] + w(u,v));

FancyMouse 2013-06-10

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一条边(u,v)，长度是w。对于这条边松弛就是进行如下操作： if(d[u]+w < d[v]) d[v] = d[u] + w; >不知道要请教算法问题的帖子应该发表在哪个版块算法版

在有关算法的书中，有一些叙述非常严谨，但不够全面；另一些涉及了大量的题材，但又缺乏严谨性。本书将严谨性和全面性融为一体，深入讨论各类算法，并着力使这些算法的设计和分析能为各个层次的读者接受。全书各章自成体系，可以作为独立的学习单元；算法以英语和伪代码的形式描述，具备初步程序设计经验的人就能看懂；说明和解释力求浅显易懂，不失深度和数学严谨性。 --------------------------------------------------------------- 目录 Introduction to Algorithms, Third Edition 出版者的话译者序前言第一部分　基础知识第1章　算法在计算中的作用　1.1　算法　1.2　作为一种技术的算法　思考题　本章注记第2章　算法基础　2.1　插入排序　2.2　分析算法　2.3　设计算法　　2.3.1　分治法　　2.3.2　分析分治算法　思考题　本章注记第3章　函数的增长　3.1　渐近记号　3.2　标准记号与常用函数　思考题　本章注记第4章　分治策略　4.1　最大子数组问题　4.2　矩阵乘法的Strassen算法　4.3　用代入法求解递归式　4.4　用递归树方法求解递归式　4.5　用主方法求解递归式　4.6　证明主定理　　4.6.1　对b的幂证明主定理　　4.6.2　向下取整和向上取整　思考题　本章注记第5章　概率分析和随机算法　5.1　雇用问题　5.2　指示器随机变量　5.3　随机算法　?5.4　概率分析和指示器随机变量的进一步使用　　5.4.1　生日悖论　　5.4.2　球与箱子　　5.4.3　特征序列　　5.4.4　在线雇用问题　思考题　本章注记第二部分　排序和顺序统计量第6章　堆排序　6.1　堆　6.2　维护堆的性质　6.3　建堆　6.4　堆排序算法　6.5　优先队列　思考题　本章注记第7章　快速排序　7.1　快速排序的描述　7.2　快速排序的性能　7.3　快速排序的随机化版本　7.4　快速排序分析　　7.4.1　最坏情况分析　　7.4.2　期望运行时间　思考题　本章注记第8章　线性时间排序　8.1　排序算法的下界　8.2　计数排序　8.3　基数排序　8.4　桶排序　思考题　本章注记第9章　中位数和顺序统计量　9.1　最小值和最大值　9.2　期望为线性时间的选择算法　9.3　最坏情况为线性时间的选择算法　思考题　本章注记第三部分　数据结构第10章　基本数据结构　10.1　栈和队列　10.2　链表　10.3　指针和对象的实现　10.4　有根树的表示　思考题　本章注记第11章　散列表　11.1　直接寻址表　11.2　散列表　11.3　散列函数　　11.3.1　除法散列法　　11.3.2　乘法散列法　　11.3.3　全域散列法　11.4　开放寻址法　11.5　完全散列　思考题　本章注记第12章　二叉搜索树　12.1　什么是二叉搜索树　12.2　查询二叉搜索树　12.3　插入和删除　12.4　随机构建二叉搜索树　思考题　本章注记第13章　红黑树　13.1　红黑树的性质　13.2　旋转　13.3　插入　13.4　删除　思考题　本章注记第14章　数据结构的扩张　14.1　动态顺序统计　14.2　如何扩张数据结构　14.3　区间树　思考题　本章注记第四部分　高级设计和分析技术第15章　动态规划　15.1　钢条切割　15.2　矩阵链乘法　15.3　动态规划原理　15.4　最长公共子序列　15.5　最优二叉搜索树　思考题　本章注记第16章　贪心算法　16.1　活动选择问题　16.2　贪心算法原理　16.3　赫夫曼编码　16.4　拟阵和贪心算法　16.5　用拟阵求解任务调度问题　思考题　本章注记第17章　摊还分析　17.1　聚合分析　17.2　核算法　17.3　势能法　17.4　动态表　　17.4.1　表扩张　　17.4.2　表扩张和收缩　思考题　本章注记第五部分　高级数据结构第18章　B树　18.1　B树的定义　18.2　B树上的基本操作　18.3　从B树中删除关键字　思考题　本章注记第19章　斐波那契堆　19.1　斐波那契堆结构　19.2　可合并堆操作　19.3　关键字减值和删除一个结点　19.4　最大度数的界　思考题　本章注记第20章　van Emde Boas树　20.1　基本方法　20.2　递归结构　　20.2.1　原型van Emde Boas结构　　20.2.2　原型van Emde Boas结构上的操作　20.3　van Emde Boas树及其操作　　20.3.1　van Emde Boas树　　20.3.2　van Emde Boas树的操作　思考题　本章注记第21章　用于不相交集合的数据结构　21.1　不相交集合的操作　21.2　不相交集合的链表表示　21.3　不相交集合森林　*21.4　带路径压缩的按秩合并的分析　思考题　本章注记第六部分　图算法第22章　基本的图算法　22.1　图的表示　22.2　广度优先搜索　22.3　深度优先搜索　22.4　拓扑排序　22.5　强连通分量　思考题　本章注记第23章　最小生成树　23.1　最小生成树的形成　23.2　Kruskal算法和Prim算法　思考题　本章注记第24章　单源最短路径 　24.1　Bellman?Ford算法　24.2　有向无环图中的单源最短路径问题　24.3　Dijkstra算法　24.4　差分约束和最短路径　24.5　最短路径性质的证明　思考题　本章注记第25章　所有结点对的最短路径问题　25.1　最短路径和矩阵乘法　25.2　Floyd?Warshall算法　25.3　用于稀疏图的Johnson算法　思考题　本章注记第26章　最大流　26.1　流网络　26.2　Ford\Fulkerson方法　26.3　最大二分匹配　26.4　推送重贴标签算法　26.5　前置重贴标签算法　思考题　本章注记第七部分　算法问题选编第27章　多线程算法　27.1　动态多线程基础　27.2　多线程矩阵乘法　27.3　多线程归并排序　思考题　本章注记第28章　矩阵运算　28.1　求解线性方程组　28.2　矩阵求逆　28.3　对称正定矩阵和最小二乘逼近　思考题　本章注记第29章　线性规划　29.1　标准型和松弛型　29.2　将问题表达为线性规划　29.3　单纯形算法　29.4　对偶性　29.5　初始基本可行解　思考题　本章注记第30章　多项式与快速傅里叶变换　30.1　多项式的表示　30.2　DFT与FFT 　30.3　高效FFT实现　思考题　本章注记第31章　数论算法　31.1　基础数论概念　31.2　最大公约数　31.3　模运算　31.4　求解模线性方程　31.5　中国余数定理　31.6　元素的幂　31.7　RSA公钥加密系统　31.8　素数的测试　31.9　整数的因子分解　思考题　本章注记第32章　字符串匹配　32.1　朴素字符串匹配算法　32.2　Rabin\Karp算法　32.3　利用有限自动机进行字符串匹配　32.4　Knuth?Morris?Pratt算法　思考题　本章注记第33章　计算几何学　33.1　线段的性质　33.2　确定任意一对线段是否相交　33.3　寻找凸包　33.4　寻找最近点对　思考题　本章注记第34章　NP完全性　34.1　多项式时间　34.2　多项式时间的验证　34.3　NP完全性与可归约性　34.4　NP完全性的证明　34.5　NP完全问题　　34.5.1　团问题　　34.5.2　顶点覆盖问题　　34.5.3　哈密顿回路问题　　34.5.4　旅行商问题　　34.5.5　子集和问题　思考题　本章注记第35章　近似算法　35.1　顶点覆盖问题　35.2　旅行商问题　35.2.1　满足三角不等式的旅行商问题　35.2.2　一般旅行商问题　35.3　集合覆盖问题　35.4　随机化和线性规划　35.5　子集和问题　思考题　本章注记第八部分　附录：数学基础知识附录A　求和　A.1　求和公式及其性质　A.2　确定求和时间的界　思考题　附录注记附录B　集合等离散数学内容　B.1　集合　B.2　关系　B.3　函数　B.4　图　B.5　树　　B.5.1　自由树　　B.5.2　有根树和有序树　　B.5.3　二叉树和位置树　思考题　附录注记附录C　计数与概率　C.1　计数　C.2　概率 C.3　离散随机变量　C.4　几何分布与二项分布　*C.5　二项分布的尾部　思考题　附录注记附录D　矩阵　D.1　矩阵与矩阵运算　D.2　矩阵基本性质　思考题　附录注记

一、本书的内容目前，市面上有关计算机算法的书很多，有些叙述严谨但不全面，另外一些则是容量很大但不够严谨。本书将叙述的严谨性以及内容的深度和广度有机地结合了起来。第1版推出后，即在世界范围内受到了广泛的欢迎，被各高等院校用作多种课程的教材和业界的标准参考资料。它深入浅出地介绍了大量的算法及相关的数据结构，以及用于解决一些复杂计算问题的高级策略(如动态规划、贪心算法、平摊分析等)，重点在于算法的分析和设计。对于每一个专题，作者都试图提供目前最新的研究成果及样例解答，并通过清晰的图示来说明算法的执行过程。. 本书是原书的第2版，在第1版的基础之上增加了一些新的内容，涉及算法的作用、概率分析和随机化算法、线性规划，以及对第1版中详尽的、几乎涉及到每一小节的修订。这些修订看似细微，实际上非常重要。书中引入了“循环不变式”，并贯穿始终地用来证明算法的正确性。在不改动数学和分析重点的前提下，作者将第1版中的许多数学基础知识从第一部分移到了附录中。二、本书的特点本书在进行算法分析的过程中，保持了很好的数学严谨性。书中的分析和设计可以被具有各种水平的读者所理解。相对来说，每一章都可以作为一个相对独立的单元来教授或学习。书中的算法以英语加伪代码的形式给出，只要有一点程序设计经验的人都能读懂，并可以用任何计算机语言(如C／C++和Java等)方便地实现。在书中，作者将算法的讨论集中在一些比较现代的例子上，它们来自分子生物学(如人类基因项目)、商业和工程等领域。每一小节通常以对相关历史素材的讨论结束，讨论了在每一算法领域的原创研究。本书的特点可以概括为以下几个方面： 1．概念清晰，广度、深度兼顾。本书收集了现代计算机常用的数据结构和算法，并作了系统而深入的介绍。对涉及的概念和背景知识都作了清晰的阐述，有关的定理给出了完整的证明。 2．“五个一”的描述方法。本书以相当的深度介绍了许多常用的数据结构和有效的算法。编写上采用了“五个一”，即一章介绍一个算法、一种设计技术、一个应用领域和一个相关话题。.. 3．图文并茂，可读性强。书中的算法均以通俗易懂的语言进行说明，并采用了大量插图来说明算法是如何工作的，易于理解。 4．算法的“伪代码”形式简明实用。书中的算法均以非常简明的“伪代码”形式来设计，可以很容易地把它转化为计算机程序，直接应用。注重算法设计的效率，对所有的算法进行了仔细、精确的运行时间分析，有利于进一步改进算法。三、本书的用法本书对内容进行了精心的设计和安排，尽可能考虑到所有水平的读者。即使是初学计算机算法的人，也可以在本书中找到所需的材料。每一章都是独立的，读者只需将注意力集中到最感兴趣的章节阅读。 1．适合作为教材或教学参考书。本书兼顾通用性与系统性，覆盖了许多方面的内容。本书不但阐述通俗、严谨，而且提供了大量练习和思考题。针对每一节的内容，都给出了数量和难度不等的练习题。练习题用于考察对基本内容的掌握程度，思考题有一定的难度，需进行精心的研究，有时还通过思考题介绍一些新的知识。前言回到顶部↑本书提供了对当代计算机算法研究的一个全面、综合性的介绍。书中给出了多个算法，并对它们进行了较为深入的分析，使得这些算法的设计和分析易于被各个层次的读者所理解。力求在不牺牲分析的深度和数学严密性的前提下，给出深入浅出的说明。. 书中每一章都给出了一个算法、一种算法设计技术、一个应用领域或一个相关的主题。算法是用英语和一种“伪代码”来描述的，任何有一点程序设计经验的人都能看得懂。书中给出了230多幅图，说明各个算法的工作过程。我们强调将算法的效率作为一种设计标准，对书中的所有算法，都给出了关于其运行时间的详细分析。本书主要供本科生和研究生的算法或数据结构课程使用。因为书中讨论了算法设计中的工程问题及其数学性质，因此，本书也可以供专业技术人员自学之用。本书是第2版。在这个版本里，我们对全书进行了更新。所做的改动从新增了若干章，到个别语句的改写。致使用本书的教师本书的设计目标是全面、适用于多种用途。它可用于若干课程，从本科生的数据结构课程到研究生的算法课程。由于书中给出的内容比较多，只讲一学期一般讲不完，因此，教师们应该将本书看成是一种“缓存区”或“瑞典式自助餐”，从中挑选出能最好地支持自己希望教授的课程的内容。教师们会发现，要围绕自己所需的各个章节来组织课程是比较容易的。书中的各章都是相对独立的，因此，你不必担心意想不到的或不必要的各章之间的依赖关系。每一章都是以节为单位，内容由易到难。如果将本书用于本科生的课程，可以选用每一章的前面几节内容；在研究生课程中，则可以完整地讲授每一章。全书包含920多个练习题和140多个思考题。每一节结束时给出练习题，每一章结束时给出一些

一、本书的内容目前，市面上有关计算机算法的书很多，有些叙述严谨但不全面，另外一些则是容量很大但不够严谨。本书将叙述的严谨性以及内容的深度和广度有机地结合了起来。第1版推出后，即在世界范围内受到了广泛的欢迎，被各高等院校用作多种课程的教材和业界的标准参考资料。它深入浅出地介绍了大量的算法及相关的数据结构，以及用于解决一些复杂计算问题的高级策略(如动态规划、贪心算法、平摊分析等)，重点在于算法的分析和设计。对于每一个专题，作者都试图提供目前最新的研究成果及样例解答，并通过清晰的图示来说明算法的执行过程。. 本书是原书的第2版，在第1版的基础之上增加了一些新的内容，涉及算法的作用、概率分析和随机化算法、线性规划，以及对第1版中详尽的、几乎涉及到每一小节的修订。这些修订看似细微，实际上非常重要。书中引入了“循环不变式”，并贯穿始终地用来证明算法的正确性。在不改动数学和分析重点的前提下，作者将第1版中的许多数学基础知识从第一部分移到了附录中。二、本书的特点本书在进行算法分析的过程中，保持了很好的数学严谨性。书中的分析和设计可以被具有各种水平的读者所理解。相对来说，每一章都可以作为一个相对独立的单元来教授或学习。书中的算法以英语加伪代码的形式给出，只要有一点程序设计经验的人都能读懂，并可以用任何计算机语言(如C／C++和Java等)方便地实现。在书中，作者将算法的讨论集中在一些比较现代的例子上，它们来自分子生物学(如人类基因项目)、商业和工程等领域。每一小节通常以对相关历史素材的讨论结束，讨论了在每一算法领域的原创研究。本书的特点可以概括为以下几个方面： 1．概念清晰，广度、深度兼顾。本书收集了现代计算机常用的数据结构和算法，并作了系统而深入的介绍。对涉及的概念和背景知识都作了清晰的阐述，有关的定理给出了完整的证明。 2．“五个一”的描述方法。本书以相当的深度介绍了许多常用的数据结构和有效的算法。编写上采用了“五个一”，即一章介绍一个算法、一种设计技术、一个应用领域和一个相关话题。.. 3．图文并茂，可读性强。书中的算法均以通俗易懂的语言进行说明，并采用了大量插图来说明算法是如何工作的，易于理解。 4．算法的“伪代码”形式简明实用。书中的算法均以非常简明的“伪代码”形式来设计，可以很容易地把它转化为计算机程序，直接应用。注重算法设计的效率，对所有的算法进行了仔细、精确的运行时间分析，有利于进一步改进算法。三、本书的用法本书对内容进行了精心的设计和安排，尽可能考虑到所有水平的读者。即使是初学计算机算法的人，也可以在本书中找到所需的材料。每一章都是独立的，读者只需将注意力集中到最感兴趣的章节阅读。 1．适合作为教材或教学参考书。本书兼顾通用性与系统性，覆盖了许多方面的内容。本书不但阐述通俗、严谨，而且提供了大量练习和思考题。针对每一节的内容，都给出了数量和难度不等的练习题。练习题用于考察对基本内容的掌握程度，思考题有一定的难度，需进行精心的研究，有时还通过思考题介绍一些新的知识。前言回到顶部↑本书提供了对当代计算机算法研究的一个全面、综合性的介绍。书中给出了多个算法，并对它们进行了较为深入的分析，使得这些算法的设计和分析易于被各个层次的读者所理解。力求在不牺牲分析的深度和数学严密性的前提下，给出深入浅出的说明。. 书中每一章都给出了一个算法、一种算法设计技术、一个应用领域或一个相关的主题。算法是用英语和一种“伪代码”来描述的，任何有一点程序设计经验的人都能看得懂。书中给出了230多幅图，说明各个算法的工作过程。我们强调将算法的效率作为一种设计标准，对书中的所有算法，都给出了关于其运行时间的详细分析。本书主要供本科生和研究生的算法或数据结构课程使用。因为书中讨论了算法设计中的工程问题及其数学性质，因此，本书也可以供专业技术人员自学之用。本书是第2版。在这个版本里，我们对全书进行了更新。所做的改动从新增了若干章，到个别语句的改写。致使用本书的教师本书的设计目标是全面、适用于多种用途。它可用于若干课程，从本科生的数据结构课程到研究生的算法课程。由于书中给出的内容比较多，只讲一学期一般讲不完，因此，教师们应该将本书看成是一种“缓存区”或“瑞典式自助餐”，从中挑选出能最好地支持自己希望教授的课程的内容。教师们会发现，要围绕自己所需的各个章节来组织课程是比较容易的。书中的各章都是相对独立的，因此，你不必担心意想不到的或不必要的各章之间的依赖关系。每一章都是以节为单位，内容由易到难。如果将本书用于本科生的课程，可以选用每一章的前面几节内容；在研究生课程中，则可以完整地讲授每一章。全书包含920多个练习题和140多个思考题。每一节结束时给出练习题，每一章结束时给出一些

单源最短路径--Dijkstra算法

单源最短路径，看算法还是挺简单的，但是要用算法实现起来并不容易。本人表示看了好久，算法上面的某些变量不明确，看了很久也没看懂，只能在网上查找了。 1、单源最短路径概念：给定一个带权有向图G=（V,E），其中每条边的权是一个实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在要计算从源到其他所有各顶点的最短路径长度。这里的长度就是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。

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