动态规划 流水线作业调度的最优子结构证明不明白

[新手爱学习]

1、问题描述：

n个作业{1，2，…，n}要在由2台机器M1和M2组成的流水线上完成加工。每个作业加工的顺序都是先在M1上加工，然后在M2上加工。M1和M2加工作业i所需的时间分别为ai和bi。流水作业调度问题要求确定这n个作业的最优加工顺序，使得从第一个作业在机器M1上开始加工，到最后一个作业在机器M2上加工完成所需的时间最少。
2、问题分析

直观上，一个最优调度应使机器M1没有空闲时间，且机器M2的空闲时间最少。在一般情况下，机器M2上会有机器空闲和作业积压2种情况。设全部作业的集合为N={1，2，…，n}。S是N的作业子集。在一般情况下，机器M1开始加工S中作业时，机器M2还在加工其他作业，要等时间t后才可利用。将这种情况下完成S中作业所需的最短时间记为T(S,t)。流水作业调度问题的最优值为T(N,0)。

设π是所给n个流水作业的一个最优调度，它所需的加工时间为 aπ(1)+T’。其中T’是在机器M2的等待时间为bπ(1)时，安排作业π(2)，…，π(n)所需的时间。

记S=N-{π(1)}，则有T’=T(S,bπ(1))。

证明：事实上，由T的定义知T’>=T(S,bπ(1))。若T’>T(S,bπ(1))，设π’是作业集S在机器M2的等待时间为bπ(1)情况下的一个最优调度。则π(1)，π'(2)，…，π'(n)是N的一个调度，且该调度所需的时间为aπ(1)+T(S,bπ(1))<aπ(1)+T’。这与π是N的最优调度矛盾。故T’<=T(S,bπ(1))。从而T’=T(S,bπ(1))。这就证明了流水作业调度问题具有最优子结构的性质。

1. 由T的定义知T’>=T(S,bπ(1))。
看定义而这好像是相等啊？怎么得出T’>=T(S,bπ(1))?
2.若T’>T(S,bπ(1))，设π’是作业集S在机器M2的等待时间为bπ(1)情况下的一个最优调度
为什么？
3.T’=T(S,bπ(1))。这就证明了流水作业调度问题具有最优子结构的性质。?
二者相等为什么说明具有最优子结构性质？

这些部分不是很懂。望指点。

[shuyechengying]

1. T'是剩下任务的一种调度，它用时自然不能小于最优调度。 2. 3.是反证法，如果剩下的任务不是最优调度（即如果T’>T(S,bπ(1))），则π(1)，π'(2)，…，π'(n)要优于π调度，这有我们假设π调度矛盾，所以T’=T(S,bπ(1))，即剩下的任务也必须以最优调度才行。 实际上这是分成两个决策过程，先安排任务1，这对后面任务的安排没有影响，后面的安排必须最优整体才最优。

[新手爱学习]

引用 1 楼 shuyechengying 的回复:

1. T'是剩下任务的一种调度，它用时自然不能小于最优调度。 2. 3.是反证法，如果剩下的任务不是最优调度（即如果T’>T(S,bπ(1))），则π(1)，π'(2)，…，π'(n)要优于π调度，这有我们假设π调度矛盾，所以T’=T(S,bπ(1))，即剩下的任务也必须以最优调度才行。 实际上这是分成两个决策过程，先安排任务1，这对后面任务的安排没有影响，后面的安排必须最优整体才最优。

谢谢回复！我顺一下思路你看对么？ 题目定义T(S,t)为最优解。 当存在一个最优序列π时,设流水线处理时间为 aπ(1)+T’。 这个问题中 T’就是要处理的子问题。 如果T’具有最优解，即满足最优子结构的性质。 因此下面的问题围绕证明T’有最优解展开。 即正 T’ = T(S,bπ(1))。 因为T(S,bπ(1))为子问题的最优解，则 T’一定是 大于等于T(S,bπ(1))。要证T’ = T(S,bπ(1))只需 证T’ <= T(S,bπ(1)) 即可，随即使用反证法。 假设 T’> T(S,bπ(1)) ,因为 T’这个问题中π是一个最优调度序列，如果T’> T(S,bπ(1)) 则存在另一个序列 π',起调度时间小于π 。这与已知π为最优调度序列矛盾。 因此命题得证。 T’ = T(S,bπ(1)) 则说明待解决问题 aπ(1)+T’ 包含子问题(T’)的最优解。 即有最有子结构。 麻烦您再看看。

[shuyechengying]

则存在另一个序列 π',起调度时间小于π 。 是什么意思

[shuyechengying]

引用 2 楼 u012019214 的回复:

[quote=引用 1 楼 shuyechengying 的回复:] 1. T'是剩下任务的一种调度，它用时自然不能小于最优调度。 2. 3.是反证法，如果剩下的任务不是最优调度（即如果T’>T(S,bπ(1))），则π(1)，π'(2)，…，π'(n)要优于π调度，这有我们假设π调度矛盾，所以T’=T(S,bπ(1))，即剩下的任务也必须以最优调度才行。 实际上这是分成两个决策过程，先安排任务1，这对后面任务的安排没有影响，后面的安排必须最优整体才最优。

谢谢回复！我顺一下思路你看对么？ 题目定义T(S,t)为最优解。 当存在一个最优序列π时,设流水线处理时间为 aπ(1)+T’。 这个问题中 T’就是要处理的子问题。 如果T’具有最优解，即满足最优子结构的性质。 因此下面的问题围绕证明T’有最优解展开。 即正 T’ = T(S,bπ(1))。 因为T(S,bπ(1))为子问题的最优解，则 T’一定是 大于等于T(S,bπ(1))。要证T’ = T(S,bπ(1))只需 证T’ <= T(S,bπ(1)) 即可，随即使用反证法。 假设 T’> T(S,bπ(1)) ,因为 T’这个问题中π是一个最优调度序列，如果T’> T(S,bπ(1)) 则存在另一个序列 π',起调度时间小于π 。这与已知π为最优调度序列矛盾。 因此命题得证。 T’ = T(S,bπ(1)) 则说明待解决问题 aπ(1)+T’ 包含子问题(T’)的最优解。 即有最有子结构。 麻烦您再看看。 [/quote] 这里最好说π(1)和π'的组合调度小于π

[新手爱学习]

引用 4 楼 shuyechengying 的回复:

[quote=引用 2 楼 u012019214 的回复:] [quote=引用 1 楼 shuyechengying 的回复:] 1. T'是剩下任务的一种调度，它用时自然不能小于最优调度。 2. 3.是反证法，如果剩下的任务不是最优调度（即如果T’>T(S,bπ(1))），则π(1)，π'(2)，…，π'(n)要优于π调度，这有我们假设π调度矛盾，所以T’=T(S,bπ(1))，即剩下的任务也必须以最优调度才行。 实际上这是分成两个决策过程，先安排任务1，这对后面任务的安排没有影响，后面的安排必须最优整体才最优。

谢谢回复！我顺一下思路你看对么？ 题目定义T(S,t)为最优解。 当存在一个最优序列π时,设流水线处理时间为 aπ(1)+T’。 这个问题中 T’就是要处理的子问题。 如果T’具有最优解，即满足最优子结构的性质。 因此下面的问题围绕证明T’有最优解展开。 即正 T’ = T(S,bπ(1))。 因为T(S,bπ(1))为子问题的最优解，则 T’一定是 大于等于T(S,bπ(1))。要证T’ = T(S,bπ(1))只需 证T’ <= T(S,bπ(1)) 即可，随即使用反证法。 假设 T’> T(S,bπ(1)) ,因为 T’这个问题中π是一个最优调度序列，如果T’> T(S,bπ(1)) 则存在另一个序列 π',起调度时间小于π 。这与已知π为最优调度序列矛盾。 因此命题得证。 T’ = T(S,bπ(1)) 则说明待解决问题 aπ(1)+T’ 包含子问题(T’)的最优解。 即有最有子结构。 麻烦您再看看。 [/quote] 这里最好说π(1)和π'的组合调度小于π[/quote] 恩，谢谢！再请教您一下。 证明中描述成π(1)和π'的组合调度小于 π ，就是为了强调，并证明最优解包含子结构的最优解，是么？

[shuyechengying]

引用 5 楼 u012019214 的回复:

[quote=引用 4 楼 shuyechengying 的回复:] [quote=引用 2 楼 u012019214 的回复:] [quote=引用 1 楼 shuyechengying 的回复:] 1. T'是剩下任务的一种调度，它用时自然不能小于最优调度。 2. 3.是反证法，如果剩下的任务不是最优调度（即如果T’>T(S,bπ(1))），则π(1)，π'(2)，…，π'(n)要优于π调度，这有我们假设π调度矛盾，所以T’=T(S,bπ(1))，即剩下的任务也必须以最优调度才行。 实际上这是分成两个决策过程，先安排任务1，这对后面任务的安排没有影响，后面的安排必须最优整体才最优。

谢谢回复！我顺一下思路你看对么？ 题目定义T(S,t)为最优解。 当存在一个最优序列π时,设流水线处理时间为 aπ(1)+T’。 这个问题中 T’就是要处理的子问题。 如果T’具有最优解，即满足最优子结构的性质。 因此下面的问题围绕证明T’有最优解展开。 即正 T’ = T(S,bπ(1))。 因为T(S,bπ(1))为子问题的最优解，则 T’一定是 大于等于T(S,bπ(1))。要证T’ = T(S,bπ(1))只需 证T’ <= T(S,bπ(1)) 即可，随即使用反证法。 假设 T’> T(S,bπ(1)) ,因为 T’这个问题中π是一个最优调度序列，如果T’> T(S,bπ(1)) 则存在另一个序列 π',起调度时间小于π 。这与已知π为最优调度序列矛盾。 因此命题得证。 T’ = T(S,bπ(1)) 则说明待解决问题 aπ(1)+T’ 包含子问题(T’)的最优解。 即有最有子结构。 麻烦您再看看。 [/quote] 这里最好说π(1)和π'的组合调度小于π[/quote] 恩，谢谢！再请教您一下。 证明中描述成π(1)和π'的组合调度小于 π ，就是为了强调，并证明最优解包含子结构的最优解，是么？[/quote] 因为假设的是π这个完整调度安排是最优的，用反证法证明它包含子结构的最优解，你必须提出另一个完整调度来和π比较，而π(1)+π'才是完整的。

[新手爱学习]

引用 6 楼 shuyechengying 的回复:

[quote=引用 5 楼 u012019214 的回复:] [quote=引用 4 楼 shuyechengying 的回复:] [quote=引用 2 楼 u012019214 的回复:] [quote=引用 1 楼 shuyechengying 的回复:] 1. T'是剩下任务的一种调度，它用时自然不能小于最优调度。 2. 3.是反证法，如果剩下的任务不是最优调度（即如果T’>T(S,bπ(1))），则π(1)，π'(2)，…，π'(n)要优于π调度，这有我们假设π调度矛盾，所以T’=T(S,bπ(1))，即剩下的任务也必须以最优调度才行。 实际上这是分成两个决策过程，先安排任务1，这对后面任务的安排没有影响，后面的安排必须最优整体才最优。

谢谢回复！我顺一下思路你看对么？ 题目定义T(S,t)为最优解。 当存在一个最优序列π时,设流水线处理时间为 aπ(1)+T’。 这个问题中 T’就是要处理的子问题。 如果T’具有最优解，即满足最优子结构的性质。 因此下面的问题围绕证明T’有最优解展开。 即正 T’ = T(S,bπ(1))。 因为T(S,bπ(1))为子问题的最优解，则 T’一定是 大于等于T(S,bπ(1))。要证T’ = T(S,bπ(1))只需 证T’ <= T(S,bπ(1)) 即可，随即使用反证法。 假设 T’> T(S,bπ(1)) ,因为 T’这个问题中π是一个最优调度序列，如果T’> T(S,bπ(1)) 则存在另一个序列 π',起调度时间小于π 。这与已知π为最优调度序列矛盾。 因此命题得证。 T’ = T(S,bπ(1)) 则说明待解决问题 aπ(1)+T’ 包含子问题(T’)的最优解。 即有最有子结构。 麻烦您再看看。 [/quote] 这里最好说π(1)和π'的组合调度小于π[/quote] 恩，谢谢！再请教您一下。 证明中描述成π(1)和π'的组合调度小于 π ，就是为了强调，并证明最优解包含子结构的最优解，是么？[/quote] 因为假设的是π这个完整调度安排是最优的，用反证法证明它包含子结构的最优解，你必须提出另一个完整调度来和π比较，而π(1)+π'才是完整的。[/quote] 非常谢谢您！清除了。 结贴。