scsongls 2014年02月02日
miller-rabin反向取数的测试
对于miller-rabin 的判断是把1个奇数写成d×2^n,其中d为奇数, 进行费马测试 a^d mod p,为1,不为1,再进行二次探测,根据a^n a^(2n) a^(4n)…a^(p-1) mod p看是否为-1,如果为-1,则可能为素数,否则肯定是合数。
能否反过来判断?
对于一个奇数n,a^((n-1)/2) mod n,看是否为为-1,如果为-1,可能是素数,否则肯定不是素数,如果为1,则判断(n-1)/2是否为奇数,如果为奇数,可能是素数,不为1,肯定不是素数,算法如下(n为奇数):
1 i=(n-1)/2
2 m= a^i mod n
3 if m =-1 n可能是素数 exit
if m=1 且 i为奇数 n可能是素数 exit
if m<> -1 or m<>1 n肯定不是素数 exit
4 i=i//2 重复 1


对于miller_rabin测试方法, 9可以通过测试,用上述测试方法,9不会通过测试,但在10000内以2为底共有5个合数通过测试:2047 3277 4033 4681 8321(详见附录)。
不过这个的算法与miller-rabin哪个速度更快更好,我没有测试过,仅作为对素数测试的一种参考吧,不知道是否正确,望各位批评指正。

以下附上程序(a没有按随机数来取,直接取2)

#include<stdio.h>
/* Montgomery算法,具体可以参考网上,按long型取数 */
long Montgomery(long n, long p, long m)
{ /* 快速计算 (n ^ p) % m 的值 */
long r = n % m; /* 这里的r可不能省 */
long k = 1;
while (p > 1)
{
if ((p & 1)!=0)
{
k = (k * r) % m; /* 直接取模 */
}
r = (r * r) % m; /* 同上 */
p /= 2;
}
return (r * k) % m; /* 还是同上 */
}

main()
{

long u1,u2,u3;
long p1,p2,p3;
long m1 , i , j;
long n,num;

n = 10000 ;
m1 = 3; /* 从3开始进行测试 */
while( m1 <= n ) /* 测试10000以内的奇数 */
{
num = 2 ; /* 以2为底进行测试 */
u1 = m1 - 1 ; /* m1为奇数 */
while( 1 )
{
/* 如果是m1-1,除2进行计算 (n-1)/2 */
if( u1 == m1 -1 )
{
u1 = u1/2;
continue;
}

/* a^(n-1)/2 mod n */
p1 = Montgomery( num, u1 , m1 ) ;

if( p1 != 1 && p1 != m1 - 1 ) /*余数不为1或-1时,肯定不是素数,取下一个数*/
{
if( u1 != m1 -1 )
/* printf( ", %ld , %ld \n" , m1 , p1 ) ;*/
break ;
}

if( p1 == m1 -1 ) /* 可能是素数 */
{
printf( "%ld\n" , m1 ) ;
break ;
}

if( (u1 % 2) != 0 && p1 == 1 ) /* 可能是素数 */
{
printf( "%ld\n" , m1 ) ;
break ;
}

u1 = u1/2 ; /* n=n/2 */
}
m1 = m1 + 2;
}
}

附录
...全文
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