N*N方格的相关问题

招RD和QA 2014-02-08 09:46:40
最近看了些卡特兰数的一些文章,http://blog.csdn.net/super_chris/article/details/6113779,
里面谈到问题N*N方格,左下角是(0,0),右上是(N,N),只能向右或者向上走,求从点(0,0)到(N,N)的方法数,说是直接可得C(2n,n),这个答案为什么直接就可得,感觉不是很理解,如何去理解它?

另外,假设这个N*N方格从左下到右上拉一条对角线L,那么从(0,0)到(N,N)的在L下方的走法数为卡特兰数即C(2n,n)/(N+1),
我想,根据对称性,是不是类似的从(0,0)到(N,N)在L上方的走法数也是C(2n,n)/(n+1),

这样就可得从(0,0)到(N,N)的穿越L(即跨越L)的走法数为C(2n,n) - 2C(2n,n)/(n+1),为(n-1)C(2n,n)/(n+1)。这个答案对嘛?
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dianyancao 2014-02-10
引用 4 楼 Viper 的回复:
2张图的区别就是f(0,j)写成了f(j,0)吧?
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panghuhu250 2014-02-09
原来楼主引用的博文里已经解释了: 从(0,0)到(n,n)的路径数显然是C(2n,n),一共要走2n步到达右上角,其中向右和向上各n步,总走法是C(2n,n)。
引用 5 楼 panghuhu250 的回复:
[quote=引用 楼主 Viper 的回复:] 最近看了些卡特兰数的一些文章,http://blog.csdn.net/super_chris/article/details/6113779, 里面谈到问题N*N方格,左下角是(0,0),右上是(N,N),只能向右或者向上走,求从点(0,0)到(N,N)的方法数,说是直接可得C(2n,n),这个答案为什么直接就可得,感觉不是很理解,如何去理解它?
每一条从(0,0)到(N,N)的路都由2N条边组成,其中N条边是竖直的,另外N条边是水平的。要决定一条路,只要决定在它的2N条边中N条竖直的边的位置就可以了,所以从(0,0)到(N,N)的路和从2N个位置中选N个的组合是一一对应的,总数是C(2N,N)。[/quote]
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panghuhu250 2014-02-09
引用 楼主 Viper 的回复:
最近看了些卡特兰数的一些文章,http://blog.csdn.net/super_chris/article/details/6113779, 里面谈到问题N*N方格,左下角是(0,0),右上是(N,N),只能向右或者向上走,求从点(0,0)到(N,N)的方法数,说是直接可得C(2n,n),这个答案为什么直接就可得,感觉不是很理解,如何去理解它?
每一条从(0,0)到(N,N)的路都由2N条边组成,其中N条边是竖直的,另外N条边是水平的。要决定一条路,只要决定在它的2N条边中N条竖直的边的位置就可以了,所以从(0,0)到(N,N)的路和从2N个位置中选N个的组合是一一对应的,总数是C(2N,N)。
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招RD和QA 2014-02-09
2张图的区别就是f(0,j)写成了f(j,0)吧?
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dianyancao 2014-02-09
dianyancao 2014-02-09
用f(i,j)表示从(0,0)到(i,j)的走法数
由于(i,j)只能从(i-1,j)或(i,j-1)到达
所以f(i,j)=f(i-1,j)+f(i,j-1)
而到(i,0)的路只有一条
到(0,j)的路也只有一条
所以用下面的递推式,得到了二项式系数的排列
矩阵中的每个二项式系数即是对应的f(i,j)=C(i+j,i)=C(i+j,j)
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FancyMouse 2014-02-09
>这个答案为什么直接就可得,感觉不是很理解,如何去理解它? 其实是用的数学归纳法,但是po主那描述实在是不正规。 >是不是类似的从(0,0)到(N,N)在L上方的走法数也是C(2n,n)/(n+1) 显然是。下面和上面又没区别。 >这个答案对嘛? 没啥问题
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