N*N方格的相关问题

[招RD和QA]

最近看了些卡特兰数的一些文章，http://blog.csdn.net/super_chris/article/details/6113779,
里面谈到问题N*N方格，左下角是（0，0），右上是（N，N），只能向右或者向上走，求从点（0，0）到（N，N）的方法数，说是直接可得C(2n,n)，这个答案为什么直接就可得，感觉不是很理解，如何去理解它？

另外，假设这个N*N方格从左下到右上拉一条对角线L，那么从（0，0）到（N，N）的在L下方的走法数为卡特兰数即C(2n,n)/(N+1)，
我想，根据对称性，是不是类似的从（0，0）到（N，N）在L上方的走法数也是C(2n,n)/(n+1)，

这样就可得从（0，0）到（N，N）的穿越L（即跨越L）的走法数为C(2n,n) - 2C(2n,n)/(n+1)，为(n-1)C(2n,n)/(n+1)。这个答案对嘛？

[FancyMouse]

>这个答案为什么直接就可得，感觉不是很理解，如何去理解它？ 其实是用的数学归纳法，但是po主那描述实在是不正规。 >是不是类似的从（0，0）到（N，N）在L上方的走法数也是C(2n,n)/(n+1) 显然是。下面和上面又没区别。 >这个答案对嘛？ 没啥问题

[dianyancao]

用f(i,j)表示从(0,0)到(i,j)的走法数
由于(i,j)只能从(i-1,j)或(i,j-1)到达
所以f(i,j)=f(i-1,j)+f(i,j-1)
而到(i,0)的路只有一条
到(0,j)的路也只有一条
所以用下面的递推式，得到了二项式系数的排列
矩阵中的每个二项式系数即是对应的f(i,j)=C(i+j,i)=C(i+j,j)

[dianyancao]

上面的公式错了，是这个： http://skydrive.live.com/?cid=cd2373ebb8ae20a1#cid=CD2373EBB8AE20A1&id=CD2373EBB8AE20A1%21162&v=3

[招RD和QA]

2张图的区别就是f(0,j)写成了f(j,0)吧？

[panghuhu250]

引用 楼主 Viper 的回复:

最近看了些卡特兰数的一些文章，http://blog.csdn.net/super_chris/article/details/6113779, 里面谈到问题N*N方格，左下角是（0，0），右上是（N，N），只能向右或者向上走，求从点（0，0）到（N，N）的方法数，说是直接可得C(2n,n)，这个答案为什么直接就可得，感觉不是很理解，如何去理解它？

每一条从（0,0）到（N,N)的路都由2N条边组成，其中N条边是竖直的，另外N条边是水平的。要决定一条路，只要决定在它的2N条边中N条竖直的边的位置就可以了，所以从（0，0）到（N，N）的路和从2N个位置中选N个的组合是一一对应的，总数是C(2N,N)。

[panghuhu250]

原来楼主引用的博文里已经解释了： 从(0,0)到(n,n)的路径数显然是C(2n,n)，一共要走2n步到达右上角，其中向右和向上各n步，总走法是C(2n,n)。

引用 5 楼 panghuhu250 的回复:

[quote=引用 楼主 Viper 的回复:] 最近看了些卡特兰数的一些文章，http://blog.csdn.net/super_chris/article/details/6113779, 里面谈到问题N*N方格，左下角是（0，0），右上是（N，N），只能向右或者向上走，求从点（0，0）到（N，N）的方法数，说是直接可得C(2n,n)，这个答案为什么直接就可得，感觉不是很理解，如何去理解它？

每一条从（0,0）到（N,N)的路都由2N条边组成，其中N条边是竖直的，另外N条边是水平的。要决定一条路，只要决定在它的2N条边中N条竖直的边的位置就可以了，所以从（0，0）到（N，N）的路和从2N个位置中选N个的组合是一一对应的，总数是C(2N,N)。[/quote]

[dianyancao]

引用 4 楼 Viper 的回复:

2张图的区别就是f(0,j)写成了f(j,0)吧？

嗯