一个计数问题

IT_worker 2014-02-25 03:38:45

一个0,1的序列如果存在连续3个比特相同,则不称为好序列,否则称为好序列,例如01001是好序列,而01110不是好序列,求长度为n的好序列个数.

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IT_worker 2014-02-28

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当前两位不同时从第二位开始也是好序列共有G(n-1)种情况，当前两位相同时从第三位开始也是好序列共有G(n-2)种情况，综上所叙有： G(n)=G(n-1)+G(n-2) G(1)=2,G(2)=4显然

cdsnfresh 2014-02-26

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引用 7 楼 yyfhz 的回复:

再往下算，有 G(n) =2G(n-1)-G(n-3) G(n-1)=2G(n-2)+G(n-4) G(n-2)=2G(n-3)-G(n-5) ... G(6) =2G(5) -G(3) G(5) =2G(4) -G(2) G(4) =2G(3) -G(1) 等式两边相加并化简，得到 G(n)=G(n-1)+G(n-2)+G(3)-G(2)-G(1) 由于G(3)=6,G(2)=4, G(1)=2，因此有 G(1)=2, G(2)=4, G(n)=G(n-1)+G(n-2) 这一更加简单个公式

数学能力真行呀

yyfhz 2014-02-25

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再往下算，有 G(n) =2G(n-1)-G(n-3) G(n-1)=2G(n-2)+G(n-4) G(n-2)=2G(n-3)-G(n-5) ... G(6) =2G(5) -G(3) G(5) =2G(4) -G(2) G(4) =2G(3) -G(1) 等式两边相加并化简，得到 G(n)=G(n-1)+G(n-2)+G(3)-G(2)-G(1) 由于G(3)=6,G(2)=4, G(1)=2，因此有 G(1)=2, G(2)=4, G(n)=G(n-1)+G(n-2) 这一更加简单个公式

cdsnfresh 2014-02-25

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引用 4 楼 misakamm 的回复:

[quote=引用 3 楼 derekrose 的回复:] f(n+1)=2f(n)+2^n/4 不知道对不对你有用例吗

拿去检验吧[/quote]这结果明显是f(n+1)=f(n)+f(n-1)呀

yyfhz 2014-02-25

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对于长度为n的01串来说，假设G(n)是其中的"好序列"数列的数量，E(n)是其中的“坏序列”的数量。现在讨论G(n)和E(n)的关系。首先，显然有G(n)+E(n)=2^n （好序列+坏序列=全排列）然后，我们计算其中的“坏序列”的数量。为了确保没有重复序列，我们约定X(i,n)是对于长度为n的数列，从第i个元素开始出现连续3个相同元素（而在i之前没有出现过连续3个相同元素）的序列的数量。则E(n)=X(1,n)+X(2,n)+...+X(n-2,n) 继续讨论X(i,n)。当i=1时，其实表示从元素1~元素3都是0或都是1（后面的元素随便取数），其数量为2*2^(n-3)。当i>i时，其实表示从元素1~元素i-1是一个“好序列”，然后元素i,i+1,i+2是连续3个与元素i-1相反的数字，然后从i+3一直到n随便取数。其数量为G(i-1)*2^(n-i-3+1)=G(i-1)*2^(n-2-i) 把它们加起来，有 E(n) =2*2^(n-3) +G(1)*2^(n-4) +G(2)*2^(n-5) +... +G(n-3)*2^(0) 即 <1> 2^n -G(n) =2*2^(n-3) +G(1)*2^(n-4) +G(2)*2^(n-5) +... +G(n-3)*2^(0) 同样的，当我们考虑长度为n+1的序列时，有<2> 2^(n+1) -G(n+1) =2*2^(n-2) +G(1)*2^(n-3) +G(2)*2^(n-4) +... +G(n-3)*2^(1) +G(n-2)*2^(0) <2>-<1>，有 2^(n+1) -G(n+1) - 2^n +G(n) =2*2^(n-3) +G(1)*2^(n-4) +G(2)*2^(n-5) +... +G(n-3)*2^(0) +G(n-2)*2^(0) =2^n -G(n)+G(n-2)*2^(0) 即 2^n -G(n+1) +G(n)= 2^n -G(n)+G(n-2) 化简得 G(n+1)=2*G(n)-G(n-2) 用x来代表n+1，则有 ==================================================== G(x)=2*G(x-1)-G(x-3) 这个就是长度为x的"好序列"数量的递推公式。为了让这个公式能运行起来，我们需要给它一些初始值 G(1)=2 -- 长度为1的序列，怎么放都是“好序列” G(2)=4 -- 长度为2的序列，怎么放都是“好序列” G(3)=6 -- 长度为2的序列，只要不是111和000，其它都是都是“好序列” 然后G(4)=2G(3)=G(1)=10 G(5)=2G(4)-G(2)=16 G(6)=2G(5)-G(3)=26 以此类推

御坂美琴Misakamm 2014-02-25

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引用 3 楼 derekrose 的回复:

f(n+1)=2f(n)+2^n/4 不知道对不对你有用例吗

拿去检验吧

derekrose 2014-02-25

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f(n+1)=2f(n)+2^n/4 不知道对不对你有用例吗

Agnostos 2014-02-25

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def calc(n):
    if n < 3:
        return 2**n
    c1 = c2 = c3 = c4 = 1
    while n > 2:
        c1, c2, c3, c4 = c3, c1+c3, c2+c4, c2
        n -= 1
    return c1 + c2 + c3 + c4

御坂美琴Misakamm 2014-02-25