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分享如何判断一个β位的整数n是否是某个整数的幂？
时间复杂度控制在关于β的多项式时间内。并且这个幂是大于1的，这个n也是大于1的。PS：我只求得了关于n的多项式时间的算法。哪位大神来帮忙提示下思路？当然有关键代码更好了。。
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FancyMouse 2014-04-22
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lm_whales 2014-04-22
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哦更好的方法是什么,请指教!!
Flammable_ice 2014-04-21
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涉及到了多项式时间内求得k次方根的问题。也是我要解决的关键性问题。如果能在多项式时间内求得k次方根，那么这个问题在多项式时间内就有解了。
Flammable_ice 2014-04-21
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哥们！ 这个问题是topcoder上的问题，所以不太容易额。
Flammable_ice 2014-04-21
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这个问题可以转换为在多项式时间内求k次方根如果有解。那么我就能写出这个问题的答案了。关键是C/C++编译器给的pow函数的时间复杂度是多少呢？ 能否在多项式时间内完成呢？ 感觉如果自己写这个函数，怎么写也没有系统给的好啊！
wanren13 2014-04-21
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没看懂楼主问的题目，写得更清楚点就好了
我第一想到的是用 log
Flammable_ice 2014-04-21
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质因子分解的方式《算法导论》书上已经给出，那我也会，但是貌似不满足题意啊
FancyMouse 2014-04-21
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多项式肯定有。用质因子分解做说明你们方法错了。
lm_whales 2014-04-21
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如果没有Olog(N)的因式分解算法,那么应该也没有,关于β的多项式时间算法.
千树之影 2014-04-21
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做因式分解就行吧。因式分解应该是β的多项式时间。
然后O(β)个数求gcd应该也是多项式时间。
Flammable_ice 2014-04-21
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O(2^β log ^2 β) 不是一个关于β的多项式时间
lm_whales 2014-04-21
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这里先假设β是8的倍数,n >=0,至于负数,取相反数,然后依照同样的方法计算,然后只要排除偶数次幂----即消除求出来的最大幂中的2因子就可以了.
1)分解质因数.
2)求各个因数次数的最大公约数.
这个最大公有数,就是最大的幂的次数.
如果最大公约数>=2, 那么一定是某个数的幂,如果是1 那么只是自己的1次幂而已.
不知道这个算法,是否在多项式时间内.
这个时间复杂度的计算,有点复杂;
估计要用到数学归纳法什么的;
分解质因数,不知道能不能有Olog(N)-->即<= O(β)的算法.
由于各因子的次数 <= β,所以每次gcd算法 < logβ
由于因子数<= β 所以gcd的计算次数 <= β 并且可以 优化到 <= logβ
那么
如果分解质因数可以Olog(N),
总的时间复杂度 O(β log ^2 β)<O(β ^2)
如果分解质因数只是O(N) = O(2^β)
那么,总的时间复杂度 O(2^β log ^2 β)
独孤过儿 2014-04-21
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更正一个笔误，是 用 n 除以从 2到 sqrt(n) 之间的所有素数
独孤过儿 2014-04-21
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此题无解。
如果n包含一个perfect power，则有 n = a * (b^k) 且 k > 1 and gcd (a, b) == 1. 那么求b只能用 n 除以从 2到 log n之间的所有素数，可是这个开销是EXP(β)级别的，假如 | n | = β。
从另一个角度考虑，假如有算法能在polynomial time内计算出来指数项，那也就可以在这个时间复杂度内找到n的一个factor了，那么“大数分解问题”就也能在polynomial time内解决了，可它是 NP-Hard的。
Flammable_ice 2014-04-20
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枚举的话 需要从2到根号n顺序查找，但是这起码就有o(根号n)的时间复杂度 那就等于O(2^(β/2))这样明显不是关于β的多项式时间额
Flammable_ice 2014-04-20
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网上查了。。以前在topcoder的SRM305出现过。但是我这个问题貌似要求更苛刻，需要在关于β位的多项式时间内判定。
buyong 2014-04-20
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没看懂，太高深了
yiyefangzhou24 2014-04-20
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数字不大的话枚举就好了，从1-n
