一道算法题

[Flammable_ice]

考虑两个集合A和B，每个集合包含取值范围在0~10n之间的n个整数。我们希望计算出A与B的笛卡尔和，定义如下：C={x+y:x∈A，y∈B}注意到，C中整数值的范围在0~20n之间。我们希望找到C中的元素，并且求出C中的每个元素可表示为A中元素与B中元素和的次数。请在O(nlgn)时间内解决问题.(提示：请用次数至多是10n的多项式来表示A和B)。
1.重点就是红字部分没读懂题意，哪位高手用通俗易懂的数学式来表示这句话？
2.给个思路呗。既然提示是把A和B看成多项式，是否要用到多项式加法？

[还有多远]

O(nlgn)靠谱吗，假设n = 4，A = {1, 2, 3, 4}，B = {10, 20, 30, 40}，只是得到C的16个元素就已经O(n*n)了

[Flammable_ice]

引用 1 楼 uuuououlcz 的回复:

O(nlgn)靠谱吗，假设n = 4，A = {1, 2, 3, 4}，B = {10, 20, 30, 40}，只是得到C的16个元素就已经O(n*n)了

你这种算法，我早就想到了，我看网上说用DFT解决 但我不太清楚怎么解决额

[独孤过儿]

如果C={x+y:x∈A，y∈B}，那么可以先将C看成是一个pair的组合，即(x,y)和(y,x)，并且它们在C中表示的是同一个元素，顺序无关，因为C里面实际上存的是x+y的和。这样的话，可以用下面的算法解决： 先将A，B内的两个集合分别排序，因为各有n个元素，所以排序的开销是O(nlogn)。 得到两个有序序列A'和B'后，找这两个有序序列可以组成的所有逆序对，原理参照merge排序，这个也可以在O(nlogn)开销内完成。 针对所有逆序对求和，并且记录有多少逆序对的和相同，以及总和的数量是多少，就是最终解了。

[FancyMouse]

对于集合A构造多项式f(x)=sum_{a\in A} x^a。也就是说A={1,2,4,5}的时候f(x)=x+x^2+x^4+x^5 然后A和B对应两个多项式f和g 做出来f(x)*g(x)以后再遍历一遍非零项就可以了。非零项的系数就是次数。nlogn的。

[FancyMouse]

引用 3 楼 fetag 的回复:

如果C={x+y:x∈A，y∈B}，那么可以先将C看成是一个pair的组合，即(x,y)和(y,x)，并且它们在C中表示的是同一个元素，顺序无关，因为C里面实际上存的是x+y的和。这样的话，可以用下面的算法解决： 先将A，B内的两个集合分别排序，因为各有n个元素，所以排序的开销是O(nlogn)。 得到两个有序序列A'和B'后，找这两个有序序列可以组成的所有逆序对，原理参照merge排序，这个也可以在O(nlogn)开销内完成。 针对所有逆序对求和，并且记录有多少逆序对的和相同，以及总和的数量是多少，就是最终解了。

A和B都是一维量，你逆序对哪来的？这乱扯也有点莫名。

[Flammable_ice]

引用 5 楼 FancyMouse 的回复:

对于集合A构造多项式f(x)=sum_{a\in A} x^a。也就是说A={1,2,4,5}的时候f(x)=x+x^2+x^4+x^5 然后A和B对应两个多项式f和g 做出来f(x)*g(x)以后再遍历一遍非零项就可以了。非零项的系数就是次数。nlogn的。

是不是可以这么理解。比如f(x)=x+x^2+x^4+x^5. g(x)=x^2+x^5+x^6+x^8. f(x)*g(x)可以用DFT在O(nlgn)时间内计算出。 它的结果是f(x)*g(x)=x^3+x^4+2x^6+3x^7+x^8+2x^9+3x^10+x^11+x^12+x^13 C中每个元素，比如C中元素3x^10是由A和B中的5+5和2+8和4+6 ，系数3就是A与B的笛卡尔和为10的出现次数。

[FancyMouse]

引用 7 楼 z84616995z 的回复:

[quote=引用 5 楼 FancyMouse 的回复:] 对于集合A构造多项式f(x)=sum_{a\in A} x^a。也就是说A={1,2,4,5}的时候f(x)=x+x^2+x^4+x^5 然后A和B对应两个多项式f和g 做出来f(x)*g(x)以后再遍历一遍非零项就可以了。非零项的系数就是次数。nlogn的。

是不是可以这么理解。比如f(x)=x+x^2+x^4+x^5. g(x)=x^2+x^5+x^6+x^8. f(x)*g(x)可以用DFT在O(nlgn)时间内计算出。 它的结果是f(x)*g(x)=x^3+x^4+2x^6+3x^7+x^8+2x^9+3x^10+x^11+x^12+x^13 C中每个元素，比如C中元素3x^10是由A和B中的5+5和2+8和4+6 ，系数3就是A与B的笛卡尔和为10的出现次数。[/quote] 是

[Flammable_ice]

引用 3 楼 fetag 的回复:

如果C={x+y:x∈A，y∈B}，那么可以先将C看成是一个pair的组合，即(x,y)和(y,x)，并且它们在C中表示的是同一个元素，顺序无关，因为C里面实际上存的是x+y的和。这样的话，可以用下面的算法解决： 先将A，B内的两个集合分别排序，因为各有n个元素，所以排序的开销是O(nlogn)。 得到两个有序序列A'和B'后，找这两个有序序列可以组成的所有逆序对，原理参照merge排序，这个也可以在O(nlogn)开销内完成。 针对所有逆序对求和，并且记录有多少逆序对的和相同，以及总和的数量是多少，就是最终解了。

1.貌似你提供了一种解题方案，但是你是否用到了题目中提示的A和B两个集合看成多项式的方法去求解？ 2.红字内容我还是不懂啊。

[lm_whales]

引用 5 楼 FancyMouse 的回复:

对于集合A构造多项式f(x)=sum_{a\in A} x^a。也就是说A={1,2,4,5}的时候f(x)=x+x^2+x^4+x^5 然后A和B对应两个多项式f和g 做出来f(x)*g(x)以后再遍历一遍非零项就可以了。非零项的系数就是次数。nlogn的。

++ 果然高明 原来这个数组A,B的每个元素，表示多项式系数。

[lm_whales]

哦，居然还是写错了 原来这个数组A,B的每个元素，表示多项式次数，系数表示重复次数。

[lm_whales]

引用 3 楼 fetag 的回复:

如果C={x+y:x∈A，y∈B}，那么可以先将C看成是一个pair的组合，即(x,y)和(y,x)，并且它们在C中表示的是同一个元素，顺序无关，因为C里面实际上存的是x+y的和。这样的话，可以用下面的算法解决： 先将A，B内的两个集合分别排序，因为各有n个元素，所以排序的开销是O(nlogn)。 得到两个有序序列A'和B'后，找这两个有序序列可以组成的所有逆序对，原理参照merge排序，这个也可以在O(nlogn)开销内完成。 针对所有逆序对求和，并且记录有多少逆序对的和相同，以及总和的数量是多少，就是最终解了。

大神，这次似乎失手了，不过这应该无损于大神，因为每个人都有出错的时候。

[Flammable_ice]

可以结贴了。感谢楼上诸位的解答。