如何基于加法定义每一阶的超运算？

[dianyancao]

基于加法定义乘法
+,a,a == *,a,2

基于乘法定义幂
*,a,a == ^,a,2

基于幂定义超级幂
^,a,a == ↑,a,2

下面更高阶的运算要怎么定义呢？
如何用C++代码实现每一阶的运算？

[dianyancao]

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%BF%90%E7%AE%97

[ForestDB]

看了wiki，其中的G(n, a, b)是比较好的表示法。

[dianyancao]

有没有非递归的写法？

[dianyancao]

怎么将下面的递归修改成用堆栈形式的非递归？

#include <iostream>

using namespace std;

int H(int n,int a,int b);

int main()
{
	cout<<H(3,4,6)<<endl;

	system("PAUSE");
	return 0;
}

int H(int n,int a,int b)
{
   if (n==0) return b+1;
   if (n==1&&b==0) return a;
   if (n==2&&b==0) return 0;
   if (n>=3&&b==0) return 1;
   return H(n-1,a,H(n,a,b-1));
}

[dianyancao]

高阶的超运算函数值增长的非常快，用int类型存储H(4,3,3)已经溢出，取2^32模后的结果为2030534587 计算H(n,a,b)的时间复杂度和空间复杂度如何估计？ 计算代码简化为：

#include <iostream>

using namespace std;

int H(int n,int a,int b);

int main()
{
	cout<<H(4,3,3)<<endl;

	system("PAUSE");
	return 0;
}

int H(int n,int a,int b)
{
   if (n==0) return b+1;
   if (n==1) return a+b;
   if (n==2) return a*b;
   if (n>=3&&b==0) return 1;
   return H(n-1,a,H(n,a,b-1));
}

[FancyMouse]

你先别管复杂度。递归层数一高，甚至指数套指数都无法表示那个大小。那算了还有啥用。 当然要是计算求模结果的话，那肯定有特殊技巧。

[dianyancao]

嗯，模幂是算出循环节然后按循环节大小再取模吗？ 在超运算下，能不能用闭合表达式表示Integrate[x^x,x]?

[FancyMouse]

>嗯，模幂是算出循环节然后按循环节大小再取模吗？ 有循环节最好。mod里质数幂次高的时候不是纯循环，还要更复杂一些，不过也就是复杂，难度不大。 >在超运算下，能不能用闭合表达式表示Integrate[x^x,x]? 你可以定义一个。这样就能充数了。

[dianyancao]

用欧拉商数来计算模幂？ https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%AE%9A%E7%90%86_(%E6%95%B0%E8%AE%BA) 对x^x积分，积分变量为x，对e^(log(x)*x)展开的级数逐项积分，级数如何转化成超运算来计算，我弄不出来T_T

[dianyancao]

编译器生成如下汇编代码，如何优化这个汇编代码使用的堆栈大小？

int H(int n,int a,int b)
{
00F12910  push        ebp  
00F12911  mov         ebp,esp  
00F12913  sub         esp,0C0h  
00F12919  push        ebx  
00F1291A  push        esi  
00F1291B  push        edi  
00F1291C  lea         edi,[ebp-0C0h]  
00F12922  mov         ecx,30h  
00F12927  mov         eax,0CCCCCCCCh  
00F1292C  rep stos    dword ptr es:[edi]  
   if (n==0) return b+1;
00F1292E  cmp         dword ptr [n],0  
00F12932  jne         H+2Ch (0F1293Ch)  
00F12934  mov         eax,dword ptr [b]  
00F12937  add         eax,1  
00F1293A  jmp         H+87h (0F12997h)  
   if (n==1) return a+b;
00F1293C  cmp         dword ptr [n],1  
00F12940  jne         H+3Ah (0F1294Ah)  
00F12942  mov         eax,dword ptr [a]  
00F12945  add         eax,dword ptr [b]  
00F12948  jmp         H+87h (0F12997h)  
   if (n==2) return a*b;
00F1294A  cmp         dword ptr [n],2  
00F1294E  jne         H+49h (0F12959h)  
00F12950  mov         eax,dword ptr [a]  
00F12953  imul        eax,dword ptr [b]  
00F12957  jmp         H+87h (0F12997h)  
   if (n>=3&&b==0) return 1;
00F12959  cmp         dword ptr [n],3  
00F1295D  jl          H+5Ch (0F1296Ch)  
00F1295F  cmp         dword ptr [b],0  
00F12963  jne         H+5Ch (0F1296Ch)  
00F12965  mov         eax,1  
00F1296A  jmp         H+87h (0F12997h)  
   return H(n-1,a,H(n,a,b-1));
00F1296C  mov         eax,dword ptr [b]  
00F1296F  sub         eax,1  
00F12972  push        eax  
00F12973  mov         ecx,dword ptr [a]  
00F12976  push        ecx  
00F12977  mov         edx,dword ptr [n]  
00F1297A  push        edx  
00F1297B  call        H (0F1130Ch)  
00F12980  add         esp,0Ch  
   return H(n-1,a,H(n,a,b-1));
00F12983  push        eax  
00F12984  mov         eax,dword ptr [a]  
00F12987  push        eax  
00F12988  mov         ecx,dword ptr [n]  
00F1298B  sub         ecx,1  
00F1298E  push        ecx  
00F1298F  call        H (0F1130Ch)  
00F12994  add         esp,0Ch  
}

[dianyancao]

如果直接递归分解成加法计算，时间复杂度是不是O(H(n,a,b))，空间复杂度是不是O(log(H(n,a,b)))？