关于埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）及其C++实现的问题

[雨夜独行的人]

小弟这几天在做有关埃拉托斯特尼筛法的C++习题，在查阅了许多资料后，我写下了如下代码：

int main()
{
	//向量元素值若为1，则元素序数为质数；向量元素若为0，则元素序数不是质数。
	cout << "Please enter the upper limit: ";
	int n,i,multiple,k;
	cin >> n;
	vector<int>primes;
	for (i = 0; i < n + 1; ++i)
		primes[i] = 1;
	primes[0] = 0;    //0,1都不是质数
	primes[1] = 0;
	for (i = 2; i < n + 1;++i)
	{
		if (primes[i]==1)
		{
			for (multiple=2;i*multiple<=sqrt(n);++multiple)
				primes[i*multiple] = 0;
		}
	}
	for (k = 2; k < n + 1;++k)
	{
		if (primes[k] == 1)
			cout << k << endl;
	}
}

我的目的是输入正整数n，输出所有小于n的质数。代码编译没有问题，但是运行时出现了错误：

看样子好像是向量范围出错了，但是我不明白具体的错误原因。请大家指教！
关于埃拉托斯特尼筛法，我主要参考了：
维基百科：https://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_of_Eratosthenes
算法百科：http://www.algorithmist.com/index.php/Prime_Sieve_of_Eratosthenes
和YouTube上的一个讲解视频：https://www.youtube.com/watch?v=eKp56OLhoQs（请大家自备云梯……）
谢谢大家了！请大家多多指教！

[brookmill]

为什么定义了vector又把它当数组用呢？ 要是喜欢用vector就push_back，要是喜欢数组就int *primes=new int [n+1];

[brookmill]

这个算法我不懂，不过我觉得楼主的理解可能有点问题。我做了以下两处改动之后，好像结果就对了： vector<int>primes; 改成 int *primes = new int [n+1]; // 当然最后要delete [] primes; for (multiple=2;i*multiple<=sqrt(n);++multiple) 改成 for (multiple=2;i*multiple<=(n);++multiple)

[brookmill]

要是楼主喜欢用vector，那就把 primes[i] = 1; 改成 primes.push_back(1); 这么改也能正确运行，但是接下来把vector当数组用，还是感觉有点怪。 关于楼主代码出错的原因：在primes的定义后面加一行： cout << "size=" << primes.size() << ",capacity=" << primes.capacity() << endl; 我这里显示capacity是0，也就是说这个vector的容量是0。然后primes[i]=1的时候就出错了，因为写到了它的容量允许的范围之外。而push_back发现容量不够的时候可以自动扩容。所以，既然用了vector，就尽量用它的成员函数，这样很多细节都可以由它们来负责处理。

[雨夜独行的人]

引用 2 楼 brookmill 的回复:

这个算法我不懂，不过我觉得楼主的理解可能有点问题。我做了以下两处改动之后，好像结果就对了： vector<int>primes; 改成 int *primes = new int [n+1]; // 当然最后要delete [] primes; for (multiple=2;i*multiple<=sqrt(n);++multiple) 改成 for (multiple=2;i*multiple<=(n);++multiple)

引用 3 楼 brookmill 的回复:

要是楼主喜欢用vector，那就把 primes[i] = 1; 改成 primes.push_back(1); 这么改也能正确运行，但是接下来把vector当数组用，还是感觉有点怪。 关于楼主代码出错的原因：在primes的定义后面加一行： cout << "size=" << primes.size() << ",capacity=" << primes.capacity() << endl; 我这里显示capacity是0，也就是说这个vector的容量是0。然后primes[i]=1的时候就出错了，因为写到了它的容量允许的范围之外。而push_back发现容量不够的时候可以自动扩容。所以，既然用了vector，就尽量用它的成员函数，这样很多细节都可以由它们来负责处理。

我明白了！也加深了对向量的理解！谢谢！

[brookmill]

引用 9 楼 xacbeyond 的回复:

[quote=引用 8 楼 brookmill 的回复:] 我明白了，平方根应该在这里： for (i = 2; i <= sqrt(n);++i) 当然代码不能这么写，每次循环调用一次sqrt效率太低，应该 int s = sqrt(n); for (i = 2; i <= s;++i)

如果n是整型？sqrt(n)也是整型吗？[/quote] sqrt的返回值是double，这个查手册就能看到。c语言里面任何一个函数的返回值的类型都是固定的，和输入的参数是什么类型没关系。 int s = sqrt(n); 这里有个类型转换，和int s = 1.234是一样的过程，把浮点数转换成整数赋值给int变量。 i <= sqrt(n) 这里同样有类型转换，i要先转换成double再和sqrt的返回值做比较

[雨夜独行的人]

引用 2 楼 brookmill 的回复:

这个算法我不懂，不过我觉得楼主的理解可能有点问题。我做了以下两处改动之后，好像结果就对了： vector<int>primes; 改成 int *primes = new int [n+1]; // 当然最后要delete [] primes; for (multiple=2;i*multiple<=sqrt(n);++multiple) 改成 for (multiple=2;i*multiple<=(n);++multiple)

按照算法原意，应该用n，但是根据参考资料，用sqrt（n）可以对算法进行优化，也可以证明两者是等效的。但在我的程序中，若用n，输出结果就是对的，若用sqrt（n）则不对……为什么呢？想不明白……

[雨夜独行的人]

引用 5 楼 xacbeyond 的回复:

[quote=引用 2 楼 brookmill 的回复:] 这个算法我不懂，不过我觉得楼主的理解可能有点问题。我做了以下两处改动之后，好像结果就对了： vector<int>primes; 改成 int *primes = new int [n+1]; // 当然最后要delete [] primes; for (multiple=2;i*multiple<=sqrt(n);++multiple) 改成 for (multiple=2;i*multiple<=(n);++multiple)

按照算法原意，应该用n，但是根据参考资料，用sqrt（n）可以对算法进行优化，也可以证明两者是等效的。但在我的程序中，若用n，输出结果就是对的，若用sqrt（n）则不对……为什么呢？想不明白……[/quote] 我明白了！是我自己理解错了！

[brookmill]

引用 5 楼 xacbeyond 的回复:

按照算法原意，应该用n，但是根据参考资料，用sqrt（n）可以对算法进行优化，也可以证明两者是等效的。但在我的程序中，若用n，输出结果就是对的，若用sqrt（n）则不对……为什么呢？想不明白……

用sqrt优化是有可能的，因为可以减少很多循环次数，不过直接用sqrt(n)替换n肯定不对，比如n=100，平方根是10，那比10大的不就全被当成质数了。 楼主再好好研究一下算法吧。

[brookmill]

我明白了，平方根应该在这里： for (i = 2; i <= sqrt(n);++i) 当然代码不能这么写，每次循环调用一次sqrt效率太低，应该 int s = sqrt(n); for (i = 2; i <= s;++i)

[雨夜独行的人]

引用 8 楼 brookmill 的回复:

我明白了，平方根应该在这里： for (i = 2; i <= sqrt(n);++i) 当然代码不能这么写，每次循环调用一次sqrt效率太低，应该 int s = sqrt(n); for (i = 2; i <= s;++i)

如果n是整型？sqrt(n)也是整型吗？