请教一个加速算法的思路

[feng32tc]

问题是这样的：

在XOY平面上有一个凸多边形，其各顶点坐标均已知。在凸多边形内部有一个点P，从P引出一条射线，该射线与凸多边形的某一条边相交。设计一个算法，对于给定的凸多边形（坐标固定）和任意的的点P、射线角度theta（P的坐标、角度theta均未知），快速判断射线与多边形的哪条边相交。可以使用预处理方法，预处理的时间不算在判断时间里。内存要求：4G内存、32位系统下能够正常运行即可。

最简单的线性算法就是不进行预处理，每拿到一根射线(P, theta)，逐个判断射线与凸多边形的各条边（线段）是否相交，当然这肯定是最慢的。LZ也想了一些加速算法，但是感觉都不太理想。求各位大神给点思路。

[feng32tc]

引用 1 楼 lhfslhfs 的回复:

得出射线（直线）的方程式，如果多边形的边和直线相交，则两个端点代入直线方式后一正一负。 我觉得这样运算量也很小啊

比如说如果多边形有600条边，那就要判断600次，这样时间开销就是 O(N)。由于查询操作非常频繁，这个步骤有必要进行优化

[青松2]

我觉得可以借用二分查找的思路： （1）设置起始边为p(s,1)=(p(1,1) ,p(2,2)=p(1,2),，结束边端点为p( e,1)=(p(N/2,1) ,p(e,2)=p(N/2,2), （2）判断起始边两个端点带入直线方程式的符号，如果相同，步骤（3） （3）判断结束边两个端点的符号，如果相同则步骤（4） （4）如果结束边和起始边端点符号相反， 之后就是二分查找的思路了 我没仔细思考，也不知道对不对，欢迎大家探讨

[feng32tc]

引用 3 楼 lhfslhfs 的回复:

我觉得可以借用二分查找的思路

我之前想到的是一个更暴力的方法：把凸多边形所在的区域划分成一个网格，比如说100x100的 网格，再对射线角度进行划分，比说说每一度划分一格，这样就得到了一个100x100x360 的映射表。计算映射表中的每一项到底和哪条边相交。但是由于位置和角度只是近似的，所以会有误差，有的时候计算会发生错误。为了处理这种情况，映射表中存的不是一个id值，而是一个id列表，列表的长度就是多边形边的个数，其中的元素按照相交的可性性进行排序。与映射表中的那一项代表的射线相交的线段排在最前面，其它的线段，“偏差”越大就排在越后面。这样就得到了一个100x100x360x600 的超大表格（假设多边形是600边形） 这个就是我最初想到的方案，理论上速度会很快，但是太耗空间了。

[青松2]

得出射线（直线）的方程式，如果多边形的边和直线相交，则两个端点代入直线方式后一正一负。 我觉得这样运算量也很小啊

[FancyMouse]

先nlogn预处理把凸包做出来。然后对于每一个射线询问可以logn二分出来。

[feng32tc]

引用 5 楼 FancyMouse 的回复:

先nlogn预处理把凸包做出来。然后对于每一个射线询问可以logn二分出来。

能实现log(N)算法加速比确实已经很高了，最大求交次数从600次降到了10次，但是能否降到1~2次呢？我之前花了点时间实现了自己想到的暴力方法，发现平均求交次数已经在2次以下了，但是就是感觉空间利用率太低，用了这么多内存感觉有些浪费。