矩阵连乘有多少种加括号的方法？

[csu白菜]

用动态规划可以得到矩阵连乘最佳的加括号方法，但是到底有多少种加括号的方法呢？以下讨论是《算法导论》的内容，书中只提到总共加括号方法的一个下界是2^n，还提到了一个更紧的下界：Ω(4^n/n^(3/2))。
当n = 1时，只有一个矩阵，因此只有一种方法，当n>=2时一个全加括号的矩阵乘积就是连个全部加括号的子矩阵的乘积，而这两个子矩阵分裂的地方可能在第k个和第k+1个矩阵之间，其中k = 1,2......,n-1.因此得到递归式(P(n)表示加括号的方法数）:
p(n) = 1(n =1) 或 =∑p(k)p(n-k) (k从1到n-1)
由上面的递归式可以用替换法证明其一个下界确实是2^n.在《算法导论》思考题12-4中计算n个结点的二叉树数目时计算了上面这个递归式的那个更紧的下界，具体的计算白菜高数比较菜，泰勒级数什么的都忘了，勉强看了一下，但是这本书也只得到了这个更紧的下界，而没有得到确界，是不是确界真的就无法计算呢？有没有人能够给出确界？

[FancyMouse]

去搜Catalan数咯

[csu白菜]

Catalan数也是递归给出的，现在的问题是由这个递归式得到它的确界

[dianyancao]

这个数列的通项有闭式表达，可以求得
p[n] = CatalanNumber[n - 1]
http://mathworld.wolfram.com/CatalanNumber.html

用mathematica在Infinity处取该通项p[n]的1阶近似，得：
Series[CatalanNumber[n], {n, Infinity, 1}]
4^n O(1/n)^(2/3)