Union Find算法中的特殊序列

[招RD和QA]

其复杂度为O(n*G(n))，同时教材上有一段话，对于任意的c，都存在一个特殊的Unoin-Find指令序列，
使得执行该序列的时间复杂度>cn，即算法在最坏情况下不是线性的。

问下这是个什么样的序列？

[FancyMouse]

>想不明白现在这样的算法会在项目中使用嘛？这种数据结构只支持Union和Find，都没法遍历树的。 直接用的情况比较少（虽然我在公司里用了，但是也就我一个人在那里用），但是要牵涉到某些固定算法（Kruskal，LCA查询等等）那间接用到的可能性就大很多了。 原问题。rank+路径压缩的话估计要把原来的均摊Omega(alpha(n))的证明搬出来大半了。因为有O(alpha(n))的均摊上界，所以要举反例的话n的增长速度肯定要比A还要快，这种函数估计都不好找，更不要说举反例了，可能这么做真的找出来的例子还不如Tarjan原证明里的反例简单。Tarjan的反例在这篇论文里：Efficiency of a Good But Not Linear Set Union Algorithm

[招RD和QA]

我看的那个材料中说了这么一句话，“Aho书中构造了一个特殊的例子，它对于任意的c， 执行O(n)条Unoin-Find指令的时间复杂度均大于cn，证明略” 所以就想问问这个特殊的序列是什么样的。

[熊熊大叔]

这里说的是union算法还是find算法，用的哪种实现？

[招RD和QA]

是O(n)条Union和Find指令，Aho的算法， Union(i,j) /*i,j可以是任意结点，不一定是根结点*/ aFind(i) /*a是含结点i的树的根结点编号*/ ← bFind(j) /*b是含结点j的树的根结点编号*/ ← if a=b return a; /*i,j在同一个集合中，无需进行Union */ if rank[a]>rank[b] then {p[b]a; return a;} /*根结点为a的树‘深’，b指向a*/ ← else { p[a]b; /*根结点为b的树‘深’或相等，a指向b*/ ← if rank[a]=rank[b] then rank[b]增1; return b;} /*注意，rank的改动只在：两树相等时，新根结点rank才被增1*/ Find是做路径压缩的。 想不明白现在这样的算法会在项目中使用嘛？这种数据结构只支持Union和Find，都没法遍历树的。

[招RD和QA]

上面的代码中很多“＝”号没打出来。

[招RD和QA]

楼上的，我引用的材料中已经说了，Aho构造了一个例子，也就是说这个例子是已经构造出来的，我就是想知道这个例子是什么。

[招RD和QA]

楼上的，我引用的材料中已经说了，Aho构造了一个例子，也就是说这个例子是已经构造出来的，我就是想知道这个例子是什么。

[熊熊大叔]

引用 5 楼 Viper 的回复:

我看的那个材料中说了这么一句话，“Aho书中构造了一个特殊的例子，它对于任意的c， 执行O(n)条Unoin-Find指令的时间复杂度均大于cn，证明略” 所以就想问问这个特殊的序列是什么样的。

证明有两类，一类是构造性证明，也就是找到一个实际的例子，证明这种情况存在。另一种是非构造性证明，也就是说我肯定这种情况存在，但我也不知道它是什么样子。非构造性证明的典型例子就是欧几里德证明不存在最大的质数。 4楼已经说了，这个问题用构造性证明是很难的，并给你介绍了一篇非构造性证明。如果你一定要找到一个构造性证明，恐怕得去找业界大牛，比如俄罗斯斯捷克洛夫数学研究所什么的去探讨了。