带压缩 Union Find 指令序列算法的思索

[招RD和QA]

Aho书的Union Find 指令序列的问题，书中给了2个数据结构，第1个，Find是O(1)时间，但是Union需要小集合中的元素改名，所以需要O(nlgn)的时间，第2个数据结构是树，让小集合指向大集合，Union是O(1)，但是Find需要O(nlgn)的时间，
再之后，又提出了一种新的带压缩的Find，这种方法的Union提出了rank的概念，让rank低树指向rank高的树，并最终证明是接近线性水平，证明中利用了一个rank的性质，是秩为r的节点数最多为n/2^r。

之后，我想，从理论上来，不管是rank低的集合指向rank高的集合，还是rank高的集合指向rank低的集合，Union操作都是O(1)，而如果是后者，即是把rank高的指向rank低的话，会破坏哪些性质呢，从而导致这个证明不能成立？想了半天，没有答案，似乎只要带压缩的Find，就和Union操作中集合顺序没有关系，总能得出O(n)条指令近似线性复杂度的结论。

[FancyMouse]

只有路径压缩是n*log(n)，路径压缩+rank才能做到n*alpha(n)

[招RD和QA]

，好快。 即使不路径压缩，只要比较树的节点数、或者树的rank，让小的指向大的。就可以得到nlgn的复杂度， 我的问题是带路径压缩，树的union以任意顺序（不比较节点数，也不比较树高）的话，也是nlgn嘛？怎么证明的？

[招RD和QA]

哈哈，仔细想了想，有点结果。 如果按顺序（不管是树节点数目，还是树高）Union，那么有性质秩为 r 的结点数最多为 n/2^r，但是如果以任意顺序 Union，该性质则不成立，秩为 r 的结点数最多为 n/r， 先前那个线性复杂度的证明，书上的方法是平摊分析并利用了Ackerman函数（定义为F(i) = 2^F(i-1)）的逆函数（假设定义为G），将 O(n) 条Union，Find指令的开销分成三类，根费用，组费用和路径费用。根费用，组费用的计算结果没有变化，而路径费用的计算会产生不同。 按顺序Union时，每个组 g 的节点最多为n/F(g)（书上有推导），有开销 n/F(g) * [ F(g)-(F(g-1) - 1) ] < n/F(g) * F(g) = n，总共G(n)组，所以开销为nG(n)， 而不按序Union时，每个组的节点最多为sum(n/r) ( r = F(g-1)+1, F(g) ) < nsum(1/r) (r = 1, F(g) ) 近似为 nlnF(g), 有开销 nlnF(g) * F(g) = nF(g)lnF(g), 再考虑到G(n)个组，这个开销就很大了。但应该不是对数性质的。

[招RD和QA]

晕了，发现上面的有点问题。虽然秩为 r 的结点最多为 n/r，但每个组的结点最多也就是 n，不可能是 nlnF(g)。糊涂了。 因此以某个组 g 来看，其开销为 n * [ F(g) - F(g-1) - 1 ]，全部累加有： n * [ F(1) - F(0) - 1] + n * [F(2) - F(1) - 1] + ... + n * [F(g-1) - F(g-2) - 1 ] + n * [F(g) - F(g-1) - 1] = n * [ F(g) - F(0) - g ] = n * [ F(G(n)) - 1 - G(n) ] = n ( n -G(n) - 1 ) 是O(n^2)级别。