怎么获得满足p≡q≡3(mod 4)的两个大随机素数p和q？

_sunshine 2015-05-20 10:11:21

不明白p≡q≡3(mod 4)同余式怎么解，最近要用到Rabin，但之前又没接触过，烦恼知道的朋友告知一二！

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cloud_yq 2019-03-12

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满足的素数应该是 4*k+3

iyomumx 2015-05-20

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素数只有4k+1和4k+3两种形式，所以直接生成，不符合的丢弃就好了

_sunshine 2015-05-20

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引用 1 楼 zhao4zhong1 的回复:

如果这个很容易获得的话，RSA加密就无效了。

是解这个同余式，不是解密。是自己要生成两个素数，然后用于加密，但是要满足上面的同余式。

赵4老师 2015-05-20

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如果这个很容易获得的话，RSA加密就无效了。

赵4老师 2015-05-20

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引用 2 楼 dy106 的回复:

[quote=引用 1 楼 zhao4zhong1 的回复:] 如果这个很容易获得的话，RSA加密就无效了。

是解这个同余式，不是解密。是自己要生成两个素数，然后用于加密，但是要满足上面的同余式。[/quote] RSA加密难以破解的理论基础就是求类似同余式的解是一个很耗时操作。

RSA密码系统可具体描述为：取两个大素数p和q，令n=pq,N=(p-1)(q-1),随机选择整数d,满足gcd(d,N)=1,ed=1 modN。公开密钥：k1=(n,e) 私有密钥：k2=(p,q,d) 加密算法：对于待加密消息m，其对应的密文为c=E(m)=me(modn) 解密算法：D(c)=cd(modn)

RSA加密算法的过程如下：（1）取两个随机大素数p和q（保密）（2）计算公开的模数r=pq(公开) （3）计算秘密的欧拉函数j (r) =（p-1）(q-1)（保密），两个素数p和q不再需要，应该丢弃，不要让任何人知道。（4）随机选取整数e，满足gcd(e, j (r))=1(公开e，加密密钥) （5）计算d，满足de≡1(mod j (r))(保密d，解密密钥，陷门信息) （6）将明文x（其值的范围在0到r-1之间）按模为r自乘e次幂以完成加密操作，从而产生密文y（其值也在0到r-1范围内） y=xe (mod r) （7）将密文y按模为r自乘d次幂，完成解密操作 x=yd (mod r)

Digital Signature Algorithm (DSA)是Schnorr和ElGamal签名算法的变种，被美国NIST作为DSS(DigitalSignature Standard)。算法中应用了下述参数： p：L bits长的素数。L是64的倍数，范围是512到1024； q：p - 1的160bits的素因子； g：g = h^((p-1)/q) mod p，h满足h < p - 1, h^((p-1)/q) mod p > 1； x：x < q，x为私钥； y：y = g^x mod p ，( p, q, g, y )为公钥； H( x )：One-Way Hash函数。DSS中选用SHA( Secure Hash Algorithm )。 p, q, g可由一组用户共享，但在实际应用中，使用公共模数可能会带来一定的威胁。签名及验证协议如下： 1. P产生随机数k，k < q； 2. P计算 r = ( g^k mod p ) mod q s = ( k^(-1) (H(m) + xr)) mod q 签名结果是( m, r, s )。 3. 验证时计算 w = s^(-1)mod q u1 = ( H( m ) * w ) mod q u2 = ( r * w ) mod q v = (( g^u1 * y^u2 ) mod p ) mod q 若v = r，则认为签名有效。 DSA是基于整数有限域离散对数难题的，其安全性与RSA相比差不多。DSA的一个重要特点是两个素数公开，这样，当使用别人的p和q时，即使不知道私钥，你也能确认它们是否是随机产生的，还是作了手脚。RSA算法却做不到。

要求：
1. 随机搜索大素数，随机生成公钥和私钥。
2. 用公钥对任意长度的明文（字符）加密。
3. 用私钥对密文解密。
4. 界面简洁、友好便于操作。
环境：
1．硬件环境：PC机一台
2．软件环境：Windos 2000/XP, VC++6.0
RSA算法原理：
1．首先，找出两个大素数key_P,key_Q,令key_N = key_P * key_Q。根据欧拉（Euler）数(key_N)的定义为小于key_N且与key_N互素的正整数个数，如果key_P和key_Q的最大公约数GCD(key_P,key_Q)＝1，则(key_N)＝(key_P) *(key_Q)，特别地，如果若key_P != key_Q且都是素数，则(key_N)＝(key_P-1)*(key_Q-1)。这时，我们令key_Z = (key_N) = (key_P-1)*(key_Q-1)。并且，key_N公开，key_Z要保密。
2．然后，选择一个与key_Z互素的整数key_D，作为解密密钥。Key_D公开。
3．解同余方程key_E * key_D mod key_Z = 1。得到的key_E就是加密密钥。Key_E需要保密。
这个时候key_E一定存在。因为key_D和key_Z互素，根据欧几里德算法，GCD(key_D,key_Z) ＝ 1，而扩展欧几里德算法key_D存在模key_Z乘法逆元的充分必要条件是GCD(key_D,key_Z) ＝ 1。至于key_E怎么得到，用辗转相除法即可得到，下面还会就模key_Z的扩展欧几里德算法予以祥述。
4．接着做加密和解密信息处理。发送端将要发送信息为key_P,通过key_C = key_P^key_E mod key_N 进行处理，然后将密文key_C 发到接受端。这时即使中途有人窃取信息，也只能得到密文，而且，窃取者很难通过公钥(key_N,key_E)对密文进行解密。这时接受端接受到密文。并通过密钥(key_N,key_D)进行解密处理：key_P = key_C^key_D mod key_N。

费马素性检验是一种随机化算法，判断一个数是合数还是可能是素数。根据费马小定理：如果p是素数，1 \le a \le p，那么 a^ \equiv 1 \pmod。如果我们想知道n是否是素数，我们在中间选取a，看看上面等式是否成立。如果对于数值a等式不成立，那么n是合数。如果有很多的a能够使等式成立，那么我们可以说n 可能是素数，或者伪素数。在我们检验过程中，有可能我们选取的a都能让等式成立，然而n却是合数。这时等式 a^ \equiv 1 \pmod 被称为Fermat liar。如果我们选取满足下面等式的a 费马素性检验费马素性检验 a^ \not\equiv 1 \pmod 那么a也就是对于n的合数判定的Fermat witness。整个算法可以写成是下面两大部：输入：n需要检验的数；k：参数之一来决定检验需要进行的次数。输出：当n是合数时，否则可能是素数：重复k次：在[1, n − 1]范围内随机选取a 如果an − 1 mod n ≠ 1 那么返回合数返回可能是素数

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