在一个有序数列中查找，二分查找是最优算法吗？怎样证明？

[zhaokai115]

假设对这个数列进行x分查找，即每次取1/x位置上的数，判断要找的数在它的哪一边子区间，然后再在这个子区间进行x分查找，计算平均需要查找的数目。

对二分查找，x=2，平均需要查找log2(n) = ln(n) / ln(2) 次，计算过程略。

如果是三分查找，x=3，则要找的数有1/3的几率落在小子区间内，2/3的几率落在大子区间内，这样每次比较，
1）因为有1/3的几率淘汰2/3的数据，2/3的几率淘汰1/3的数据，所以平均剩下1/3*1/3+2/3*2/3=5/9
共需要比较ln(n)/ln(9/5)次 ~= 1.7 * ln(n)
2）平均每3次比较，有一次淘汰2/3的数据，2次淘汰1/3的数据，所以3次后剩下1/3*2/3*2/3=4/27
共需要比较3 * ln(n)/ln(27/4)次 ~= 1.57 * ln(n)

为什么两种方法计算结果不一样？对通常的x又该用哪种方法计算？

[iceberg2271]

应该是最优，只是感觉上的 假设为x分法，那么按照LZ你所说的选点问题，如果出现在第一个区间点则当然是最为乐观的情况，但是这种概率也是1/x，而大概率会出现在不是1/x的地方，然而当出现了超过1/2处时依旧还在排序时，那么算法时间复杂就已经高于2分了，因为2分是1次能够将数据分成2分大小，而1/x分当大于一个1/2时算法是失败的，因为你进行了x/2-1次判断，最后得出的还是1/2区间的大小。

[iceberg2271]

补充一下，假如是4和2分，那么只要不是1/4处出现那么分法就是麻烦的，就是说数据不在最开始的1/4的话那么第一次判断就相当于只将数据缩小了1/4,2分法是1/2。。。。就是这个意思=-=

[zhaokai115]

如果第一种算法是对的，对x分查找，一次比较后，还剩下1/x * 1/x + (x-1)/x * (x-1) / x = (x^2 - 2x + 2) / x^2 求导数得到 2x * (x - 2) / x^4 当x=2时有极值

[iceberg2271]

这个应该是这样的，但是感觉有概率，2分法是以2的次方能够缩减数据长度的，而1/x是概率性的以1/x到x-1/x缩小数据的。 你的思路应该是对的，因为这个是出现次数相同的情况应该是以下概率，

[FancyMouse]

1和2没一个对的。假设查询均匀随机，长度为n的期望查找次数是f(n)，那递推式是f(n)=1/3*f(n/3)+2/3*f(2n/3)+1。这个解出来f(n)=c*log(n)，c满足1/c=1/3*log(3)+2/3*log(3/2)。

[tanta]

直接的二分一定不是最优的。 按照概率的二分才是最优的。实际上，我们希望尽可能找到该数在整个数列中最大出现可能的位置。 比如说，有一串数列共100个元素，最小值1，最大值100，随机分布，要查找90，直接查找第90个元素，是可能性最大的。 再比如说，一串数列，满足一定分布规律，那要根据分布规律去找。