汉诺塔的确切解

[逆向菜鸟]

http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=40607&extra=page%3D1&page=1


数学中国论坛发布的一个帖子，汉诺塔的确切解……大家给点意见。

[逆向菜鸟]

怎么没人。 这是我今早做梦梦到自己在玩汉诺塔游戏，早上起来后，边推导边发布的。

[逆向菜鸟]

帖子先整理一下发在这里吧，谢绝转载，作者高冷宅小胖妞（陈墨仙）。原发布网站，数学中国论坛。原贴地址http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=40607&extra=&page=1 大家好，我叫陈墨仙，毕业于西安电子科技大学，就职于网龙天晴在线任务设计部，是一名脚本程序员 （服务器端）。 我似乎发现了汉诺塔的确切解。目前先把猜想发上来，一会儿我将写一个程序来证明。 假设 1 2 3 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 要把这1到3号从1柱子移到3柱子。 目标柱子：3 本身柱子：1 中间柱子：2 本身柱子上的数量是3。 3mod2=1 所以第一个1号盘子，要移到目标柱子上。 2 3 1 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 接下来，目标柱子是空的，本身柱子上的数量是2。 2mod2=0 所以本身柱子上，最上面的2号盘，要移到中间柱子上。 3 2 1 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 接下来，目标柱子和中间柱子都有盘子。本身柱子1上的数量为1。 1mod2=1。 所以目前要把目标柱子上的盘子往中间柱子移。 这时候， 第二层 目标柱子：2 本身柱子：3 中间柱子：1 本身柱子3上的数量为1， 1mod2=1 所以要把3柱子上的1号盘子往目标柱子上移。 1 3 2 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 等到第二层本身柱子3空了，又恢复成 目标柱子：3 本身柱子：1 中间柱子：2 好了，目前本身柱子上的盘子数量为1 1mod2=1。 所以1柱子上的3盘子，要移到目标柱子3上。 1 2 3 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 这时候，本身柱子1空了，目标，本身，中间再次变化。 本身柱子：2 目标柱子：3 中间柱子：1 本身柱子盘子数量2， 2mod2=0 所以2号柱子上的1号盘子，要移到中间柱子上。 1 2 3 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 本身柱子盘子数量1， 1mod2=1 所以2号柱子上的2号盘子，要移到目标柱子上。 2 1 3 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 本身柱子空了，本身，目标，中间柱子再次变化。 由2->3变为1->3 本身柱子1号柱子的数量为1 1mod2=1 所以，将1号柱子上的1号盘，移到目标柱子上。 1 2 3 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 综上所述，若本身柱子数量对2取模，值为1，则移到目标柱子上，若值为0，则移到中间柱子上。 若本身柱子盘子数为0，则变换目标和本身，中间柱子。 1->3变为2->3 若目标柱子和中间柱子都有盘子，则进入第二层目标，本身，中间柱子。 若第一层本身柱子数量对2取模，值为1，则第二层目标柱子为第一层的中间柱子，第二层本身柱子为第 一层的目标柱子。 若值为0，则反过来。 还有一种更方便的判断方法，即看柱子上的盘子大小来判断目标柱子和本身柱子。 ============================== 我们现在来看看6个盘子的情况。 1 2 3 4 5 6 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 用倒推法，要把6个盘子移到3柱子上，则 需要 1 2 3 4 6 5 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 1 2 3 6 5 4 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 1 5 2 6 3 4 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 4 5 1 6 3 2 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 2 3 4 5 6 1 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 也就是说5号盘要移到2号柱子上，4号盘要移到3号柱子上，3号盘2号，2号盘3号，1号盘2号。规律是n 号盘，(6-n)mod2,若为1，则中间柱子，2号，若为0，则目标柱子，3号。 而移动的方法，就是我刚才用123个盘子进行移动的方法。 ===================== 怎么获取具体某一步的移法？ 还是以6个盘子为例，假设我们想知道3号盘子第二次移动，是从哪移到哪。 首先（6-3）mod2=1，则3号盘子第一次移动应该是中间柱子，2号，即1->2 这个时候，柱子为 4 5 1 6 3 2 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 那么接下来与三号盘无关的移动直到 1 5 2 6 3 4 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 （3-3)mod2=0，即3号盘要移到目标柱子3号柱子。 所以3号盘第二次移动是，2->3。 ================================ 所以1号盘的第一次移动是 (6-1)mod2=1,移到中间位置，1->2 本身柱子与中间柱子互换，目标柱子不变 第二次一定是移到目标位置，2->3 本身柱子与目标柱子互换，中间柱子不变 第三次移到中间位置，3->1 本身柱子与中间柱子互换，目标柱子不变 第四次移到目标位置，1->2 也即是说奇数次，移到中间位置，偶数次移到目标位置。移动之后，本身柱子与中间或目标柱子互换身 份。 ========================================= 我们再抽象归纳一下。 6个盘子，1号盘的第n次是怎么移动的函数设为（f,k）(n) f为源位子，k为目标位子。 f(1)=1 f(n)=k(n-1) k(n)=3-((n mod 3-2)mod 3) ============================ 从上面我们可以得知，如果盘号的奇偶性一样的话，那么他们前n次移动的顺序是一样的。 所以我们又可以简化为，若总共有偶数个盘子，偶数号盘的第n次是怎么移动的。 或者，若总共有奇数个盘子，奇数号盘的第n次是怎么移动的。 k(n,总共偶数，盘号偶数）= 3-((n mod 3)-1)mod3 k(n,总共偶数，盘号奇数）= 3-((n mod 3)-2)mod3 如果总共的盘子数是奇数的话，上面的公式就要反过来。 k(n,总共奇数,盘号奇数)=3-((n mod 3)-1)mod3 k(n,总共奇数,盘号偶数)=3-((n mod 3)-2)mod3 接下来要思考如何判断总共第m步要移的是几号盘子。 假设盘子总数为max， 第一步要移的总是第一号盘子。 第二步是二号盘子。 第三步是把一号盘子移到二号盘子上。 ==以上为2号盘子以上的搬运完毕==== 第四步移三号盘子。 第五步移一号。 第六步移二号。 第七步移一号。 ===以上为3号盘子以上的搬运完毕 所以顺序是 121 3121 41213121 5121312141213121 序列 z（1）=121 z（2）=3121 z（3）=41213121 len表示长度 len(z,1)=3 len（z,n）=len(z,1)+len(z,2)+...+len(z,n-1)+1 sumlen(z,n)=len(z,1)+len(z,2)+...+len(z,n) a = m-sumlen(z,n-1) if a >0 && a<len(z,n) 则当前m在第n个序列上 if a=1 则要移动n+1号盘，是n+1号盘第一次移动 if a=len(z,n-1)+1 则要移动n号盘，是n号盘第2次移动 if m mod len(z,n-2) = 1 则要移动n-1号盘，是n-1号盘第3+floor（m mod len（z,n-2））-1次移动 …… if m mod len(z,1)=1 则要移动1号盘，是1号盘第3*（n-1)+floor（m mod len(z,1))次移动 顺便打个广告，版主手下留情。 我在晋江文学城的笔名，也是我在这个论坛的id，高冷宅小胖妞。 如果大家对女频言情yy小说感兴趣的话，可以来看我的小说哦！

[逆向菜鸟]

原贴有bug，编辑一下重发。谢绝转载，作者高冷宅小胖妞（陈墨仙）。原发布网站，数学中国论坛。原贴地址http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=40607&extra=&page=1 大家好，我叫陈墨仙，毕业于西安电子科技大学，就职于网龙天晴在线任务设计部，是一名脚本程序员 （服务器端）。 我似乎发现了汉诺塔的确切解。目前先把猜想发上来，一会儿我将写一个程序来证明。 假设 1 2 3 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 要把这1到3号从1柱子移到3柱子。 目标柱子：3 本身柱子：1 中间柱子：2 本身柱子上的数量是3。 3mod2=1 所以第一个1号盘子，要移到目标柱子上。 2 3 1 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 接下来，目标柱子是空的，本身柱子上的数量是2。 2mod2=0 所以本身柱子上，最上面的2号盘，要移到中间柱子上。 3 2 1 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 接下来，目标柱子和中间柱子都有盘子。本身柱子1上的数量为1。 1mod2=1。 所以目前要把目标柱子上的盘子往中间柱子移。 这时候， 第二层 目标柱子：2 本身柱子：3 中间柱子：1 本身柱子3上的数量为1， 1mod2=1 所以要把3柱子上的1号盘子往目标柱子上移。 1 3 2 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 等到第二层本身柱子3空了，又恢复成 目标柱子：3 本身柱子：1 中间柱子：2 好了，目前本身柱子上的盘子数量为1 1mod2=1。 所以1柱子上的3盘子，要移到目标柱子3上。 1 2 3 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 这时候，本身柱子1空了，目标，本身，中间再次变化。 本身柱子：2 目标柱子：3 中间柱子：1 本身柱子盘子数量2， 2mod2=0 所以2号柱子上的1号盘子，要移到中间柱子上。 1 2 3 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 本身柱子盘子数量1， 1mod2=1 所以2号柱子上的2号盘子，要移到目标柱子上。 2 1 3 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 本身柱子空了，本身，目标，中间柱子再次变化。 由2->3变为1->3 本身柱子1号柱子的数量为1 1mod2=1 所以，将1号柱子上的1号盘，移到目标柱子上。 1 2 3 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 综上所述，若本身柱子数量对2取模，值为1，则移到目标柱子上，若值为0，则移到中间柱子上。 若本身柱子盘子数为0，则变换目标和本身，中间柱子。 1->3变为2->3 若目标柱子和中间柱子都有盘子，则进入第二层目标，本身，中间柱子。 若第一层本身柱子数量对2取模，值为1，则第二层目标柱子为第一层的中间柱子，第二层本身柱子为第 一层的目标柱子。 若值为0，则反过来。 还有一种更方便的判断方法，即看柱子上的盘子大小来判断目标柱子和本身柱子。 ============================== 我们现在来看看6个盘子的情况。 1 2 3 4 5 6 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 用倒推法，要把6个盘子移到3柱子上，则 需要 1 2 3 4 6 5 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 1 2 3 6 5 4 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 1 5 2 6 3 4 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 4 5 1 6 3 2 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 2 3 4 5 6 1 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 也就是说5号盘要移到2号柱子上，4号盘要移到3号柱子上，3号盘2号，2号盘3号，1号盘2号。规律是n 号盘，(6-n)mod2,若为1，则中间柱子，2号，若为0，则目标柱子，3号。 而移动的方法，就是我刚才用123个盘子进行移动的方法。 ===================== 怎么获取具体某一步的移法？ 还是以6个盘子为例，假设我们想知道3号盘子第二次移动，是从哪移到哪。 首先（6-3）mod2=1，则3号盘子第一次移动应该是中间柱子，2号，即1->2 这个时候，柱子为 4 5 1 6 3 2 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 那么接下来与三号盘无关的移动直到 1 5 2 6 3 4 —— —— —— 1柱子 2柱子3柱子 （3-3)mod2=0，即3号盘要移到目标柱子3号柱子。 所以3号盘第二次移动是，2->3。 ================================ 所以1号盘的第一次移动是 (6-1)mod2=1,移到中间位置，1->2 本身柱子与中间柱子互换，目标柱子不变 第二次一定是移到目标位置，2->3 本身柱子与目标柱子互换，中间柱子不变 第三次移到中间位置，3->1 本身柱子与中间柱子互换，目标柱子不变 第四次移到目标位置，1->2 也即是说奇数次，移到中间位置，偶数次移到目标位置。移动之后，本身柱子与中间或目标柱子互换身 份。 ========================================= 我们再抽象归纳一下。 6个盘子，1号盘的第n次是怎么移动的函数设为（f,k）(n) f为源位子，k为目标位子。 f(1)=1 f(n)=k(n-1) k(n)=3-((n mod 3-2)mod 3) ============================ 从上面我们可以得知，如果盘号的奇偶性一样的话，那么他们前n次移动的顺序是一样的。 所以我们又可以简化为，若总共有偶数个盘子，偶数号盘的第n次是怎么移动的。 或者，若总共有奇数个盘子，奇数号盘的第n次是怎么移动的。 k(n,总共偶数，盘号偶数）= 3-((n mod 3)-1)mod3 k(n,总共偶数，盘号奇数）= 3-((n mod 3)-2)mod3 如果总共的盘子数是奇数的话，上面的公式就要反过来。 k(n,总共奇数,盘号奇数)=3-((n mod 3)-1)mod3 k(n,总共奇数,盘号偶数)=3-((n mod 3)-2)mod3 接下来要思考如何判断总共第m步要移的是几号盘子。 假设盘子总数为max， 第一步要移的总是第一号盘子。 第二步是二号盘子。 第三步是把一号盘子移到二号盘子上。 ==以上为2号盘子以上的搬运完毕==== 第四步移三号盘子。 第五步移一号。 第六步移二号。 第七步移一号。 ===以上为3号盘子以上的搬运完毕 所以顺序是 121 3121 41213121 5121312141213121 序列 z（1）=121 z（2）=3121 z（3）=41213121 len表示长度 len(z,1)=3 len（z,n）=len(z,1)+len(z,2)+...+len(z,n-1)+1 sumlen(z,n)=len(z,1)+len(z,2)+...+len(z,n) a = m-sumlen(z,n-1) if a >0 && a<len(z,n) 则当前m在第n个序列上 if a=1 则要移动n+1号盘，是n+1号盘第一次移动 if a=len(z,n-1)+1 则要移动n号盘，是n号盘第2次移动 if m mod len(z,n-2) = 1 则要移动n-1号盘，是n-1号盘第2+floor（m mod len（z,n-2））次移动 …… if m mod len(z,1)=1 则要移动1号盘，是1号盘第n*（n-1)+floor（m mod len(z,1) )次移动 顺便打个广告，版主手下留情。 我在晋江文学城的笔名，也是我在这个论坛的id，高冷宅小胖妞。 如果大家对女频言情yy小说感兴趣的话，可以来看我的小说哦！

[梵高先生2015]

排版有点乱，而且太长，实在看不下去。。。 不过这游戏我好像初中就玩通了，思路就是递归的思想： 要想把n层的盘从1->3，就必须把其上的(n-1)层从1->2；要想把(n-1)层从1->2，就必须把其上的(n-2)层从1->3，……按照如此思路，便可总结出移动的规律。 楼主想表达的是这个意思吗？？？

[FancyMouse]

>=4根柱子的最优解是未解决问题。lz真要觉得自己解决了，去发表论文，我们去看论文。要是连论文都发表不出来说明做法肯定是错的。