关于算法中的任务调度的问题

[一直闪光的灯]

我是大二的学生，最近接触到了 一种叫调度的算法，虽然了解了 一二，但是还是不是那么的懂，具体是一道CPU,GPU处理任务时间的问题，完全没思路啊，一点头绪都没有，大家，来看看吧，不知道而没事，能给我看几个关于任务调度的算法题吗，第一次发帖，多多关照。



有若干个任务需要在一台机器上运行。它们之间没有依赖关系,因此 可以被按照任意顺序执行。

该机器有两个 CPU 和一个 GPU。对于每个任务,你可以为它分配不 同的硬件资源:

1. 在单个 CPU 上运行。
2. 在两个 CPU 上同时运行。
3. 在单个 CPU 和 GPU 上同时运行。 4. 在两个 CPU 和 GPU 上同时运行。

一个任务开始执行以后,将会独占它所用到的所有硬件资源,不得中 断,直到执行结束为止。第 i 个任务用单个 CPU,两个 CPU,单个 CPU 加 GPU,两个 CPU 加 GPU 运行所消耗的时间分别为 ai,bi,ci 和 di。

现在需要你计算出至少需要花多少时间可以把所有给定的任务完成,

输入格式

输入的第一行只有一个正整数 n(1 ≤ n ≤ 40), 是总共需要执行的任 务个数。

接下来的 n 行每行有四个正整数 ai, bi, ci, di(ai, bi, ci, di 均不超过 10), 以空格隔开。

输出格式

输出只有一个整数,即完成给定的所有任务所需的最少时间。

输入样例

3

4422

7474

3333

输出样例

7

对样例的解释

有很多种调度方案可以在 7 个时间单位里完成给定的三个任务,以下 是其中的一种方案:

同时运行第一个任务(单 CPU 加上 GPU)和第三个任务(单 CPU), 它们分别在时刻 2 和时刻 3 完成。在时刻 3 开始双 CPU 运行任务 2,在 时刻 7 完成。

[xskxzr]

首先注意到如果一个任务占了两个CPU，那么它运行期间没有其他任务同时运行，它完全可以继续占用GPU。因此为简化问题，可以划去选项2（如果选项2耗时反而比选项4少，可以将选项4的耗时改为选项2的耗时，再划去选项2）。 首先我们声称以下引理： 假设每个任务选择哪个选项是已知的，记A为第一个CPU被占用的时间，B为第二个CPU被占用的时间，C为GPU被占用的时间（比如样例中A=2+4=6，B=3+4=7，C=2+4=6（记得之前的假设，任务2在占用双CPU时，我们假装它也占用了GPU）），那么最少完成时间=max{A,B,C}。 证明：最小完成时间≥max{A,B,C}是显然的，我们只需证最少完成时间≤max{A,B,C}，即找合理安排这些任务的运行时间使得完成时间为max{A,B,C}。安排如下： （1）选择选项4的任务最后运行； （2）选择只在第一个CPU上运行的任务从时刻0开始依次不间断地运行，设这些任务一直到时刻t1才结束； （3）选择占用第二个CPU和GPU的任务从时刻0开始依次不间断地运行，设这些任务一直到时刻t2才结束； （4）选择占用第一个CPU和GPU的任务从时刻max{t1,t2}开始依次不间断地运行； （5）选择只占用第二个CPU的任务从时刻t2开始依次不间断地运行。 容易证明以上安排是合法的（即不冲突），且运行时间恰好为max{A,B,C}。 证毕。 基于这个引理，我们只需要关注为每个任务选择哪个选项，而不需要关注具体的分配细节。因此动态规划即可：记f(i,x,y,z)表示在第一个CPU、第二个CPU、GPU分别被占用了x,y,z时间的前提下，前i个工作的最少完成时间，则我们有 f(0,x,y,z)=max{x,y,z}, f(i,x,y,z)=min{f(i-1,x+a[i],y,z), f(i-1,x,y+a[i],z), f(i-1,x+c[i],y,z+c[i]), f(i-1,x,y+c[i],z+c[i]), f(i-1,x+d[i],y+d[i],z+d[i])}. 值得一提的是，这个算法依然只是个伪多项式时间的算法，只是这里a[i],b[i],c[i],d[i]都很小，所以可行。事实上，甚至当m=2，只能选选项1时，原问题也是NP难的，证明留作习题。

[一直闪光的灯]

厉害，感觉这是标准答案吧，基本知道怎么做了，不过最后一句话，是什么意思。感激感激！！

[日立奔腾浪潮微软松下联想]

首先注意到如果一个任务占了两个CPU，那么它运行期间没有其他任务同时运行，它完全可以继续占用GPU ================================================================================= 这个不对吧，如果上一个任务是 3. 在单个 CPU 和 GPU 上同时运行。 4. 在两个 CPU 和 GPU 上同时运行。 那么如果它在CPU上运行结束，而GPU还在占用，此时完全可以启动下一个任务在至少一个CPU上运行而不使用GPU。

[xskxzr]

引用 3 楼 DelphiGuy 的回复:

首先注意到如果一个任务占了两个CPU，那么它运行期间没有其他任务同时运行，它完全可以继续占用GPU ================================================================================= 这个不对吧，如果上一个任务是 3. 在单个 CPU 和 GPU 上同时运行。 4. 在两个 CPU 和 GPU 上同时运行。 那么如果它在CPU上运行结束，而GPU还在占用，此时完全可以启动下一个任务在至少一个CPU上运行而不使用GPU。

依题意不会出现这种情况，CPU上运行结束代表程序运行结束，GPU占用也结束了。

[xskxzr]

引用 2 楼 qq_36727260 的回复:

厉害，感觉这是标准答案吧，基本知道怎么做了，不过最后一句话，是什么意思。感激感激！！

没什么，如果没学过NP复杂性理论的话无视就好。

[日立奔腾浪潮微软松下联想]

有道理。但是依据 第 i 个任务用单个 CPU,两个 CPU,单个 CPU 加 GPU,两个 CPU 加 GPU 运行所消耗的时间分别为 ai,bi,ci 和 di。 可以有： GPU运行时间=ai-ci 或者 bi-di // 差值为0说明不应该给它分配GPU 两CPU占用效率=ai-bi // 差值为0说明应该分配单CPU运行

[日立奔腾浪潮微软松下联想]

引用 4 楼 xsklld 的回复:

[quote=引用 3 楼 DelphiGuy 的回复:] 首先注意到如果一个任务占了两个CPU，那么它运行期间没有其他任务同时运行，它完全可以继续占用GPU ================================================================================= 这个不对吧，如果上一个任务是 3. 在单个 CPU 和 GPU 上同时运行。 4. 在两个 CPU 和 GPU 上同时运行。 那么如果它在CPU上运行结束，而GPU还在占用，此时完全可以启动下一个任务在至少一个CPU上运行而不使用GPU。

依题意不会出现这种情况，CPU上运行结束代表程序运行结束，GPU占用也结束了。[/quote] 这逻辑... 假设某任务占用2CPU+GPU，之后在1CPU上执行完毕了，你如何看出来依题意不可以在空闲的那个CPU上启动新任务的情况？

[xskxzr]

引用 2 楼 qq_36727260 的回复:

厉害，感觉这是标准答案吧，基本知道怎么做了，不过最后一句话，是什么意思。感激感激！！

没什么，如果没学过NP复杂性理论的话无视就好。

引用 6 楼 DelphiGuy 的回复:

[quote=引用 4 楼 xsklld 的回复:] [quote=引用 3 楼 DelphiGuy 的回复:] 首先注意到如果一个任务占了两个CPU，那么它运行期间没有其他任务同时运行，它完全可以继续占用GPU ================================================================================= 这个不对吧，如果上一个任务是 3. 在单个 CPU 和 GPU 上同时运行。 4. 在两个 CPU 和 GPU 上同时运行。 那么如果它在CPU上运行结束，而GPU还在占用，此时完全可以启动下一个任务在至少一个CPU上运行而不使用GPU。

依题意不会出现这种情况，CPU上运行结束代表程序运行结束，GPU占用也结束了。[/quote] 这逻辑... 假设某任务占用2CPU+GPU，之后在1CPU上执行完毕了，你如何看出来依题意不可以在空闲的那个CPU上启动新任务的情况？ [/quote] 因为题目只给了一个参数，按你说的，题目要给3个参数：在两个CPU和GPU上的运行时间。

[Tobi_Obito]

表示核战争的话都读不懂······

[Z-RICHARD]

引用 3 楼 早打大打打核战争 的回复:

首先注意到如果一个任务占了两个CPU，那么它运行期间没有其他任务同时运行，它完全可以继续占用GPU ================================================================================= 这个不对吧，如果上一个任务是 3. 在单个 CPU 和 GPU 上同时运行。 4. 在两个 CPU 和 GPU 上同时运行。 那么如果它在CPU上运行结束，而GPU还在占用，此时完全可以启动下一个任务在至少一个CPU上运行而不使用GPU。

题目中已说明了一个任务开始执行以后,将会独占它所用到的所有硬件资源,不得中断,直到执行结束为止