解惑:为什么sinx的余项是R2m,而cosx的是R2m+1-来自高等数学泰勒中值定理(同济版)

James_Xue_2023 2018-10-09 08:14:38
解惑:为什么sinx的余项是R2m,而cosx的是R2m+1 -来自高等数学泰勒中值定理(同济版教材) 在学习泰勒中值定理这一章时,看书比较细致的同学会发现: 为什么sinx函数用带拉格朗日余项的麦克劳林公式展开时,它的余项是R2m(x)! 而cosx函数的用同样的方法,余项却是是R2m+1(x)! 首先,不得不说,会在此处产生困惑的同学,说明你学习很认真,观察力也很强,因为,咱们按照泰勒中值公式的推导过程可以知道,ε应该是介于0到x之间的一个值,所以按照公式正常的推导下去,去写R2m(x)不是正好吗?为什么要多此一举,将cosx的余项写的到R2m+1(x)呢? 答:其实,对于cosx函数来说,如果你的余项形式只需用Rn(x)的来表示的话,你无论是将Rn(x)写成R2m+1(x)或者R2m(x)形式,都是无所谓的。因为cosx函数可以求无数导数,所以只要余项的形式能正确表达的含义即可。 但是,为什么同济大学的老师们在在教材里要特别的写R2m+1(x)形式的余项呢? 其实秘密的关键在于,教材后面紧接着给出的R2m+1(x)的具体表达式,教材上给出, R2m+1(x)=(-1)^(m+1)*[(cosθx) * x^(2m+2)]/(2m+2)! 选用这个余项的关键就在于前面的正负号判断!因为将余项写为R2m+1(x)后,对于余项具体表达式前面是正还是负这两种情况,就可以很简单的合并为: (-1)^(m+1) 而如果是写成R2m(x)的形式,则还需要对m的奇偶性进行判断, 若m为偶数, R2m(x)= -1 *[(sinθx) * x^(2m+1)]/(2m+1)! 若m为奇数, R2m(x)= 1 *[(sinθx) * x^(2m+1)]/(2m+1)! 因为无法从表达式上对m的奇偶性进行判断,所以无法将两个公式进行合并,因此,还是取R2m+1(x)简洁明了。 综上所述,cosx函数的余项如果是写成R2m(x)的形式,会导致具体表达式需要得出m的奇偶性后,才能得出具体表达式前面的正负号,由于R2m(x)的具体表达式无法合并,所以在教材上才取了简洁明了的R2m+1(x)形式。 绝对原创,手机上纯手打的,累死宝宝了(›´ω`‹ )~ 希望大家支持,欢迎大家评论和提问(。・∀・)ノ゙ヾ(・ω・。)~
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