多重背包问题讨论

[fanerlight]

多重背包问题阐述：有N种物品和一个容量为C的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件重量是w[i]（整数），价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

关于这个问题网上建议使用二进制优化，更进一步的优化是单调队列优化。我自己想出一种O(NC)的算法，不知道是否正确，请大家从中挑挑毛病。

使用辅助数组k[N][C]，其中元素k[i][j]表示前i种物品放入容量为j的背包价值最大时，第i种物品放入的个数。状态转移方程如下：f[i][j]表示i种物品，容量为j的背包放入的最高价值。递推时：
如果k[i][j-1]<n[i]，此时意味着f[i][j]可能还能放入第i个物品，那么f[i][j]=max{f[i-1][j], f[i][j-w[i]]+v[i] }；如果k[i][j-1]>=n[i], 此时意味着第i种物品已经被用光，无法继续放入，则此时f[i][j]=n[i]*v[i]+f[i-1][j-n[i]*w[i]]。关于k[i][j]的递推，如果放入了i物品，则k[i][j]++。

试问这种算法能否解决多重背包问题？如果可以的话，那么时间复杂度只有O(NC)了。

[fanerlight]

引用 1 楼 636f6c696e 的回复:

没那么简单的，每种物品数量有限制，因此你在递推的时候控制变量变数很大，无法用你的想法完美解决

请问控制变量具体指什么呢？您这样说我还不是很理解……

[636f6c696e]

没那么简单的，每种物品数量有限制，因此你在递推的时候控制变量变数很大，无法用你的想法完美解决