求一个多元一次方程的所有解？

2019-07-25 03:53:27 3.1k 阅读 AI 写同款 · GEO 优化AI 选题数据监测一键分发 ›

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【运筹学】第4讲线性代数基础复习自留笔记来源：b站王树尧SJTU【运筹学】本节主要对线性代数整体的研究思路（矩阵、行列式的引出）进行梳理，基础计算方法等请自行复习线性代数；阅读详情

有什么方法能高效的求出一个多元一次方程的所有解？
例如 X1+X2+......+X26=51;

的所有整数解，要求每个解的范围在0-10之间。

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解二元一次方程组程序，\( x \) 和 \( y \) 是待求的未知数。立即下载

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wid999 2019-08-05

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先说明，这段程序是用枚举的方式求解，所以非常耗时！

    internal class Cacu

    {

        //a1X1+a2X2+......+anXn=M;

        //a1到an为各元系数



        /// <summary>

        /// 方程的解的列表

        /// </summary>

        /// <param name="iRatios">各元系数an</param>

        /// <param name="iM">总和</param>

        /// <param name="iXLower">各元的下限</param>

        /// <param name="iXUpper">各元的上限</param>

        internal System.Collections.Generic.List<int[]> CacuIt(int[] iRatios, int iM, int iXLower, int iXUpper)

        {

            System.Collections.Generic.List<int[]> lAnswers = new List<int[]>();

            if (iXLower * iRatios.Length <= iM)//有解

            {

                int[] iXs = new int[iRatios.Length];

                for (int I = 0; I < iXs.Length; I++) iXs[I] = iXLower;

                bool blNotEnd = true;

                while (blNotEnd)

                {

                    if (GetCacuState(iRatios, iXs, iM))

                    {

                        int[] iXt = new int[iRatios.Length];

                        for (int I = 0; I < iXt.Length; I++) iXt[I] = iXs[I];

                        lAnswers.Add(iXt);

                    }

                    int iIndex = 0;

                    bool blOverflow = true;

                    while (blOverflow && iIndex < iXs.Length)

                    {

                        int iT = iXs[iIndex] + 1;

                        if (iT > iXUpper)

                        {

                            iXs[iIndex] = iXLower;

                            iIndex++;

                        }

                        else

                        {

                            iXs[iIndex] = iT;

                            blOverflow = false;

                        }

                    }

                    blNotEnd = iIndex < iXs.Length;

                }

            }

            return lAnswers;

        }

        



        /// <summary>

        /// 算下是不是解

        /// </summary>

        /// <param name="iRatios">系数表</param>

        /// <param name="iXs">当前解</param>

        /// <param name="iM">和</param>

        /// <returns>计算结果</returns>

        internal bool GetCacuState(int[] iRatios, int[] iXs, int iM)

        {

            int iSum = 0;

            for (int I = 0; I < iRatios.Length; I++)

                iSum += iRatios[I] * iXs[I];



            //if (iSum == iM)

            //{

            //    for (int I = 0; I < iXs.Length; I++)

            //        Console.Write(string.Format("{0}\t", iXs[I]));

            //    Console.WriteLine();

            //}



            return iSum == iM;

        }

    }

阿佳呀 2019-08-03

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引用 8 楼 xrd42077的回复:

[quote=引用 7 楼 java__net 的回复:] 这个题目没看懂,固定X1加到X26么?那不可能是整数,从1加到10就已经55了.

不是固定的可以是10+10+10+10+1+0.....+0=51。可以是0。[/quote] 那你这个是n元n次方程了呀

阿佳呀 2019-08-03

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引用 21 楼 lxl126的回复:

[quote=引用 17 楼 jx315425246 的回复:]
[quote=引用 15 楼 lxl126 的回复:]
[quote=引用 12 楼 jx315425246 的回复:]
求所有正整数解可以，只能用枚举，26个未知数每个未知数取值范围（0-51）嵌套26个循环，每个循环循环次数51次，总次数51的26次方，枚举结果小于这个数

借楼请问大佬：一元n次方程，（楼主的是n=26），如果事先不知道n的数值，n为变量。

意味着需要n个循环，那么怎么写代码呢[/quote]

那就用递归，n次递归
[/quote]

谢谢回复~~之前也想过也只有递归的办法了，可是这个用递归可能难以实现吧，感觉递归也就实现A!这种问题。

例如：
已知四元一次方程x1+2x2+3x3+5x4=6，列出所有可能的自然数解
https://ask.csdn.net/questions/766857
#!/usr/bin/python
for x1 in range(0, 7):
for x2 in range(0, 7):
for x3 in range(0, 7):
for x4 in range(0, 7):
if x1 + 2 * x2 + 3 * x3 + 5 * x4 == 6:
print(str(x1) + " " + str(x2) + " " + str(x3) + " " + str(x4) + " " + str(2**x1+3**x2+4**x3+5**x4));

这个用递归就很难写吧，恳求大神指点[/quote] def equation(x): if x==0: print(pow(x,1),'+2*',pow(x,2),'+3*',pow(x,3),'+5*',pow(x,4),'!=6') return elif (pow(x,1)+2*pow(x,2)+3*pow(x,3)+5*pow(x,4))==6: print(pow(x,1),'+2*',pow(x,2),'+3*',pow(x,3),'+5*',pow(x,4),'=6') else: print(pow(x,1),'+2*',pow(x,2),'+3*',pow(x,3),'+5*',pow(x,4),'!=6') equation((x-1)) i=6 equation(int(i)) """ 输出结果: 6 +2* 36 +3* 216 +5* 1296 !=6 5 +2* 25 +3* 125 +5* 625 !=6 4 +2* 16 +3* 64 +5* 256 !=6 3 +2* 9 +3* 27 +5* 81 !=6 2 +2* 4 +3* 8 +5* 16 !=6 1 +2* 1 +3* 1 +5* 1 !=6 0 +2* 0 +3* 0 +5* 0 !=6 """

阿佳呀 2019-08-03

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引用 20 楼 lxl126的回复:

谢谢回复~~之前也想过也只有递归的办法了，可是这个用递归可能难以实现吧，感觉递归也就实现A!这种问题。

例如：
已知四元一次方程x1+2x2+3x3+5x4=6，列出所有可能的自然数解
https://ask.csdn.net/questions/766857
#!/usr/bin/python
for x1 in range(0, 7):
for x2 in range(0, 7):
for x3 in range(0, 7):
for x4 in range(0, 7):
if x1 + 2 * x2 + 3 * x3 + 5 * x4 == 6:
print(str(x1) + " " + str(x2) + " " + str(x3) + " " + str(x4) + " " + str(2**x1+3**x2+4**x3+5**x4));

这个用递归就很难写吧，恳求大神指点

你确定你的方程有解吗？我写出来测试没解，而且x前面的系数1 2 3 5没有规律，我也是小白，有大佬写出来的话可以顺便复制粘贴回复我一下

UnnamedOrange 2019-08-02

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要求出所有解的话直接搜索。如果只用求出解的个数的话使用动态规划。

唯刀百辟唯心不易 2019-07-31

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循环呗，这还不简单，倒是你这题目无解啊

luj_1768 2019-07-31

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大家讨论的很好，再进一步就解决了：10+10+10+10+10+1; 这个算式很重要，之后讨论的是10+10+10+10+9+2; 然后是10+10+10+10+9+1+1; 10+10+10+10+8+3; 10+10+10+10+8+2+1; ...

峡 2019-07-30

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引用楼主 xrd42077的回复:

有什么方法能高效的求出一个多元一次方程的所有解？
例如 X1+X2+......+X26=51;

的所有整数解，要求每个解的范围在0-10之间。

1⇒10这个要点逻辑

jx315425246 2019-07-29

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引用 23 楼楠木_ 的回复:

[quote=引用 1 楼 wanghui0380的回复:]51个1，分成26堆。

正解，然后用闸板法，两个板距离不超过10[/quote]
怎么解？，你写一个出来

lxl126 2019-07-28

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引用 11 楼 wid999 的回复:

X1+X2+......+Xn=M
Xn的取值[0,M]的整数，

定义数组X[n-1]存临时X的值，

定义一个迭代函数，参数包括：
n——几元，
M——还剩下可以用来分的整数。
函数提前返回的条件：
M=0，此时余下的X都是0，
或n=1，此时Xn=M。

M=51，n=26应该不用多久就可以全迭代出来。

借楼请问大佬：一元n次方程，（楼主的是n=26），如果事先不知道n的数值，n为变量。

意味着需要n个循环，那么怎么写代码呢

lxl126 2019-07-28

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引用 12 楼 jx315425246 的回复:

求所有正整数解可以，只能用枚举，26个未知数每个未知数取值范围（0-51）嵌套26个循环，每个循环循环次数51次，总次数51的26次方，枚举结果小于这个数

借楼请问大佬：一元n次方程，（楼主的是n=26），如果事先不知道n的数值，n为变量。

意味着需要n个循环，那么怎么写代码呢

lxl126 2019-07-28

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借楼提问：一元n次方程，（楼主的是n=26），如果事先不知道n的数值，n为变量。那么怎么写这个循环呢

楠木_ 2019-07-28

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引用 1 楼 wanghui0380的回复:

51个1，分成26堆。

正解，然后用闸板法，两个板距离不超过10

Crazy_咸鱼 2019-07-28

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引用 7 楼 java__net的回复:

这个题目没看懂,固定X1加到X26么?那不可能是整数,从1加到10就已经55了.

范围是0～1，0可以的

jx315425246 2019-07-28

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        List<string> sl = new List<string>();

        /// <summary>

        /// 多元一次方程

        /// </summary>

        /// <param name="n">元数（多少个未知数）</param>

        /// <param name="y">方程式的值</param>

        /// <param name="cn">当前第几元（未知数）取值</param>

        /// <param name="cy">当前取值后的值</param>

        /// <param name="slist">取值数列</param>

        /// <returns></returns>

        public void GetY(int n,int y,int cn,int cy,string slist)

        {

            string s;

            int i, j, k;

            s = slist;

            for(i=0;i<y;i++)

            {

                k = cy + i;

                s = s + i.ToString() + " ";

                if(k<y && cn<n)

                {

                    GetY(n, y, cn + 1, k, s);

                }

                if(cn==n && k==y)

                {

                    sl.Add(s);

                }

            }

        }

lxl126 2019-07-28

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引用 17 楼 jx315425246 的回复:

[quote=引用 15 楼 lxl126 的回复:]
[quote=引用 12 楼 jx315425246 的回复:]
求所有正整数解可以，只能用枚举，26个未知数每个未知数取值范围（0-51）嵌套26个循环，每个循环循环次数51次，总次数51的26次方，枚举结果小于这个数

lxl126 2019-07-28

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谢谢回复~~之前也想过也只有递归的办法了，可是这个用递归可能难以实现吧，感觉递归也就实现A!这种问题。

例如：
已知四元一次方程x1+2x2+3x3+5x4=6，列出所有可能的自然数解
https://ask.csdn.net/questions/766857
#!/usr/bin/python
for x1 in range(0, 7):
for x2 in range(0, 7):
for x3 in range(0, 7):
for x4 in range(0, 7):
if x1 + 2 * x2 + 3 * x3 + 5 * x4 == 6:
print(str(x1) + " " + str(x2) + " " + str(x3) + " " + str(x4) + " " + str(2**x1+3**x2+4**x3+5**x4));

这个用递归就很难写吧，恳求大神指点

XBodhi. 2019-07-28

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如果是整数的话等于是把所有的值穷举一下。

例如 56 个 1

然后每个值 0-10 然后多余的位数补0 .

jx315425246 2019-07-28

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引用 15 楼 lxl126 的回复:

[quote=引用 12 楼 jx315425246 的回复:]
求所有正整数解可以，只能用枚举，26个未知数每个未知数取值范围（0-51）嵌套26个循环，每个循环循环次数51次，总次数51的26次方，枚举结果小于这个数

借楼请问大佬：一元n次方程，（楼主的是n=26），如果事先不知道n的数值，n为变量。

意味着需要n个循环，那么怎么写代码呢[/quote]

那就用递归，n次递归

jx315425246 2019-07-27

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求所有正整数解可以，只能用枚举，26个未知数每个未知数取值范围（0-51）嵌套26个循环，每个循环循环次数51次，总次数51的26次方，枚举结果小于这个数

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求一个多元一次方程的所有解？

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