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城市房价预测
摘要
近十年左右，各大城市出现寸土寸金的现象，逐渐出现“炒房热”，北京的房价更是如雨后春笋。随着国民经济的不断提升，现如今多个影响北京房价的原因也值得关注，如GDP的逐年增长，人均收入不断提升，开发商的投资和人口密度的提升，都与北京房价有着紧密联系。
对于问题一，我们搜集大量数据，分析并处理发现2009—2018年的GDP，人均可支配收入，房地产开发投资，人口密度等因素对北京房价的影响程度。我们得到了关于影响房价因素的线性回归方程：
y=0.2941X1+0.4118 X2+0.1176 X3+0.1765 X4
由此方程可知人均可支配收入是影响房价的主要因素。
对于问题二，我们搜集了北京2009—2018年的房价数据，可以定性判断出，房价是逐年增长的，进一步用灰色预测（GM ）模型定量分析出房价走势，并较准确预测出了下一年的房价。
对于问题三，我们搜集了北京2009-2018年每月的房价数据和政府出台的房价调控政策进行对比，观察国家调控制度对房价的影响，所选数据都对房价由直接的作用效果。通过绘图对比发现，新政能使房价趋于缓慢、稳定、健康的方向发展，但不能改变房价的整体走势。
关键词：房价 权重 线性方程 灰色预测模型 曲线拟合 调控政策
一．问题重述
城市房价受多种因素的影响而发生变动（如人均可支配收入、土地价格、人口密度、税收政策、限购政策、地理位置、利率等等）。近几年来，我国各大城市的房价都出现了普遍持续上涨、高居不下的情况。房价的上涨使人民生活成本大幅增加，导致许多中低收入人群买房难。因此如何有效地抑制房地产价格上扬，是一个备受关注的社会问题。现在请你研究以下几个方面的问题：
1.1通过你的分析找出影响房价的主要因素，并建立一个城市房价的数学模型，对房价的形成、演化和房地产投资进行分析。
1.2选择某一地区（如广州、深圳、珠海、北京等），调查近些年（如2000年至2019年）房价变化情况，并根据你所调查的数据，预测下一年该地区房价的走势。
1.3请根据国家和各地方政府的一系列调控房价的政策（如贷款政策、限购政策等等）出台的时间与房价的变化情况，分析这些政策对调控房价所起的作用。
二．问题分析
2.1对于问题一我们查找了北京近十年来房价的具体数据和GDP，人均可支配收入，房地产开发投资，人口密度等影响因素的数值，我们通过分析相关数据,找出影响房价的主要原因,然后根据这些因素建立一个城市房价的数学模型。同时,根据得出的结论深入细致的分析房价形成、演化机理和房地产投机。针对本问,我们利用了网络等相关资源,查找各主导因素间的变化关系,确立变量,从而建立模型,利用权重分析得到了人均可支配收入是影响房价的主要因素。
2.2对于问题二本问是对房价的走势进行估计和预测。房地产价格的高低涉及社会生活中多方面的经济利益,也是百姓生活中关注比较多､比较重要的问题之一｡较为准确地预测未来房地产的销售价格,对社会经济发展和人民生活极其重要,可以为经济决策提供参考,故其研究意义相当重大｡首先,我们根据题目提示,我们需要确定的是具体研究哪一座城市的房价情况,我们最终选择了北京作为研究城市，然后再继续考虑接下来的数据挖掘等步骤。针对本问,我们一定要具备的资料就是该城市的历年房价的真实数据,从而才能真正意义上的通过建立模型、求解,拟算出下一阶段该城市的房价走势。进一步我们进行建立灰色预测模型，进行曲线拟合。
2.3对于问题三，近年来，政府出台了多项房价调控政策控制房价，很多政策起到了一定的作用，对房价和合理化起到了积极的影响，以北京为例，搜集了2009-2018年每月的房价以及在这期间出来的相关政策，利用MATLAB制作房价与经济因素的关系图，对北京房价进行深入分析，得出调控政策在抑制房价中所起到的作用。虽然房价是由社会经济的诸多因素制约着的，并不完全能从房价的增长趋势中看出政策的有效性，但这却是有效而直观的方法之一。
三．模型假设
3.1假设所有数据真实可靠。
3.2假设除该文提到的GDP，人均可支配收入，房地产开发投资。
3.3人口密度等因素外，其他的因素对房价的影响非常小，可以忽略不计。
四．符号说明
符号
含义
y
平均房价（元/米）
X1
GDP（元/人）
X2
人均可支配收入(元)
X3
房地产开发投资（万元）
X4
人口密度（人/平方公里）
CI
一致性指标
CR
一致性比例
X5
原始数据序列
X6
X5的生成数据序列
X7
X5的模拟值序列
Z1
X6的紧邻均值生成序列
Z2
X5的模拟值序列
X的灰色关联度
x的灰色关联度
小误差概率
五.模型的建立与求解
5.1问题一的模型建立与求解
首先我们整理资料，得到相关数据，如下表5- 1：
年份（年）
平均房价（元/米）
GDP(元/人）
人均可支配收入
房地产开发投资(万元）
人口密度（人/平方公里）
2009
13901
66940
26739
23377124
1127
2010
19717
73856
29073
29010686
1189
2011
20983
81658
32903
30363340
1223
2012
20525
87474
36469
31534419
1254
2013
23169
94647.88
40830.043
34834045
1289
2014
26679
99995
44488.57
39113411
1311
2015
29550
106497
48457.99
42263473
1315
2016
35218
118198
52530
40454483
1317
2017
62957
128994.11
57230
37458819
1315
2018
59868
140211.24
62361
38732418
1323
表5- 1
在日常生活的诸多领域中。人们往往会遇到很多由相互关联、相互制约的众多复杂的因素构成的系统.这样的系统往往缺少定量的数据。因此用常规的方式很难处理这个系统。层次分析法为达类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。层次分析法建模步骤如下:
(1)建立递阶层次结构模型；
(2)构造出各层次中的所有判断矩阵；
(3)层次单排序及致性检验；
(4)层次总排序及一致性检验；
如果要比较n个因子
X={X1,X2,…,Xn}
对某个成分Z的影响大小，可以采取对各因子进行两两比较，根据比较结果建立成对比较矩阵的办法，对每个因子Xi和Xj,以aij表示Xi和Xj对Z的影响大小之比，比较结果用:
A=(aij)n*n
表示，容易得到，若Xi和Xj对Z的影响之比为aij，则Xi和Xj对Z的影响之比应为
aji=
若矩阵A=(aij)n*n满足以下两个条件：
（Ⅰ）aij>0
（Ⅱ）aji= (i,j=1,2,…,n)
则称之为正反矩阵。
标度1表示两个因素相比，其有相同重变性。
标度3表示两个因素相比，前者比后者精重要。
标度5表示两个因素相比，前者比后者明显重要。
标度7表示两个因素相比，前者比后者强烈重要。
标度9表示两个因素相比，前者比后者极端重要。
2,4,6,8表示上述判断的中间值。
人均可支配收入（X2）令为7，GDP（X1）令为5，人口密度（X4）令为3，房地产开发投资（X3）令为2，得到以下矩阵：
A=
我们对矩阵A进行一致性检验，得到：
CI=-1.4803e-16
CR=-1.6633e-16
y=0.2941X1+0.4118X2+0.1176X3+0.1765X4
结论：由方程式可以看出人均可支配收入（X2）所占权重最大，也就是说影响房价的主要因素是人均可支配收入。
5.2问题二的模型建立与求解
首先，我们找到了北京2009—2018的房产均价数据，如下表
年份
房价（元/平方米）
年份
房价（元/平方米）
2009
13901
2014
26679
2010
19717
2015
29550
2011
20983
2016
35218
2012
20525
2017
62957
2013
23169
2018
59868
表5- 2
下面我们建立灰色预测模型，
我们可以记原始数据序列X5为：
X5={X5(1),X5(2),X5(3),X5(4),X5(5),X5(6),X5(7),X5(8),X5(9),X5(10)}
=(13901,19717,20983,20525,23169,26679,29550,35218,62957,59868)
其相应的生成数据序列为：
X6={X6(1),X6(2),X6(3),X6(4),X6(5),X6(6),X6(7),X6(8),X6(9),X6(10)}
=(13901,33618,54601,75126,98295,124974,154524,189742,252699,312567)
Z1为X6的紧邻均值生成序列：
Z1={Z1(1),Z1(2),… ,Z1(n)}
其中，Z1(k)=0.5X6(k)+0.5 X6(k-1),k=1,2,…,n
Z1=(13901,23759.5,44109.5,64863.5,86710.5,111634.5,139749,172133,221220.5,282633)
于是有B=, Y=
BTB=
a=(BTB)-1BTY=
接下来，我们就可以确定模型，
∂X6/∂t-0.161X6=14492.1
以及时间响应式：
X7（k+1）=(13901- )+ =103914.043-90013.043
X7=(13901,32053.2213607783,53376.3629438667,78424.3368494106,107847.815295495,142411.13315633,183012.143119788,230705.539242524,286730.254779889,352541.646003052)
还原X5的模拟值，由
Z2=X7(k+1)-X7(k)=（13901,18152.2213607783,21323.1415830884,25047.9739055439,29423.4784460844,34563.317860835,40601.009963458,47693.396122736,56024.715537065,65811.391223463）
计算X的灰色关联度：
=268732 =1290831.62974931
=(1++)/(1+++-)=0.604092737470127>0.60
精度为一级，可以用103914.043-90013.043进行预测。
那么2019年的房价可以这样预测：
当k=10时，Z1(k+1)=520661.435-429849.298=90812.137;
由此，我们可以得出预测结果：
年份
房价（元/平方米）
2019
90812.137
表5- 3
结论：并用灰色预测进行曲线拟合建立模型得到下一年该地区房价的走势和与原房价的对比图如图5- 1：呈上升趋势。
图5- 1
5.3问题三的模型建立与求解
根据题目分析，对北京房价的具体数据在EXCEL上进行处理，得到了图5- 2的结果，R2很接近1，所以曲线拟合较精确。并做出了政府调控对房价影响的曲线图，如图5- 3。
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