《数据结构》5.5二叉树的性质下载

weixin_39820780 2019-09-10 04:30:15

本讲主要讲述二叉树的五个重要性质。是学习二叉树必需要掌握内容。
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本讲主要讲述二叉树的五个重要性质。是学习二叉树必需要掌握内容。

5.1 数的逻辑结构 5.1.1 1、树的定义在树中常常将数据元素称为结点（1）有且仅有一个特定的称为根的结点；（2）当n>1时，除根结点之外的其余结点被分成m（m>0）个互不相交的有限集合T1，T2，•••Tm，其中每个集合又是一棵树，并称为这个节点的子树。 2、树的基本术语：结点的度、树的度叶子节点、分支结点孩子节点、分支结点、兄弟节点路径、路径长度祖先、子孙结点的层数、树的深度（高度）层序编号有序树、无序树森林 5.1.2 树的抽象数据类型定义 5.1.3树的遍历操作 1、前序遍历树的前序遍历操作定义为：若树为空，则空操作返回；否则（1）访问根结点（2）按照从左向右的顺序前序遍历根结点的每一棵子树。 2、中序遍历树的中序遍历操作定义为：若树为空，则空操作返回；否则（1）按照从左向右的顺序后序遍历根结点的每一棵子树；（2）访问根结点。 3、层序遍历树的层序遍历也称作树的广泛遍历，其操作定义为树的第一层开始，自上而下逐层遍历，在同一层中，按从左向右的顺序对结点逐个访问。 5.2树的存储结构 5.2.1 双亲表示法由树的定义可知，树中每个结点都有且仅有一个双亲结点。所以利用这一特性，可以用一维数组来存储各个结点，数组中一个元素对应一个结点，数组元素包括树中结点的数据信息以及该结点的双亲在数组中的下标。其中： Data为数据域，存储树中结点的数据信息； Parent为指针即游标，存储该结点的双亲在数组中的小标。 5.2.2孩子表示法 1、多重链表表示法（1）指针域的个数等于该结点的度。（2）指针域的个数等于树的度。 2、孩子链表表示法把孩子看成一个线性表，且以单链表存储，称为该结点的孩子链表。则n个结点有n个孩子链表。孩子节点有两类：孩子节点、表头结点。 5.2.3 双亲孩子表示法即将双亲表示法和孩子链表表示法相结合的存储方法。仍将各结点的孩子分别组成单链表，同时用一维数组顺序存储树中的各结点，数组元素除了包括结点的数据信息和该结点的孩子链表的头指针之外，还增设一个域存储该结点的双亲在数组的下标。 5.2.4孩子兄弟表示法又称二链表表示法，其方法是链表中每个结点除数据域外，还设置了两个指针分别指向该结点的第一个孩子和右兄弟链表的结构： Firstchild data rightsib 指针域，存储第一个孩子结点的存储地址数据域，存储该结点的数据信息指针域，存储该结点右兄弟结点的存储地址 5.3二叉树的逻辑结构最简单的树结构，特别适合计算机处理，而且任何数都可以简单的转换为二叉树。（重点内容） 5.3.1二叉树的定义 二叉树是n（n>=0）个结点的有限集合，该集合或者为空集，或者有一个根节点和两棵互不相交的、分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。 二叉树具有五种基本形态： 1、空二叉树； 2、只有一个根结点； 3、根结点只有左子树； 4、根结点只有右子树； 5、根结点既有左子树又有右子树特殊二叉树： 1、斜树； 2、满二叉树； 3、完全二叉树； 5.3.2二叉树的基本性质性质5-1 二叉树的第i层上最多有2^（i-1）个结点（i>=1）。性质5-2 在一棵深度为k的二叉树中，最多有2^k-1个结点，最少有k个结点。性质5-3 在一棵二叉树中，如果叶子结点的个数为n0，度为2的结点个数为n2，则n0=n2+1. 性质5-4 具有n个结点的完全二叉树的深度为【log2^n】+1。性质5-5 对一棵具有n个结点的完全二叉树中的结点从一开始按层序编号，则对于任意的编号为i（1<=i1,则结点i的双亲的编号为【i/2】；否则结点i是根结点，无双亲。（2）如果2i<=n，则结点i的左孩子的编号为2i；否则结点i无左孩子。（3）如果2i+1<=n，则结点i的右孩子的编号为2i+1，否则结点i无右孩子。 5.3.3 二叉树的抽象数据类型定义同树类似，在不同的应用中，二叉树的基本操作不尽相同。 5.3.4 二叉树的遍历操作 二叉树的遍历是指从根节点出发，按照某种次序访问二叉树是所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。由于二叉树中每个结点都可能有两个子树，因此需要寻找一条合适的搜索路径。 1、前序遍历前序遍历二叉树操作定义为：若树为空，则空操作返回；否则（1）访问根结点（2）前序遍历根结点的左子树（3）前序遍历根结点的右子树 2、中序遍历中序遍历二叉树操作定义为：若树为空，则空操作返回；否则（1）中序遍历根结点的左子树（2）访问根结点（3）中序遍历根结点的右子树 3、后序遍历后序遍历根结点的左子树后序遍历根结点的右子树访问根结点 4、层序遍历 二叉树的层序遍历是指从二叉树的第一层开始，从上之下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序对结点逐个访问。 5.4 二叉树存储结构及实现 5.4.1 顺序存储结构具体步骤：（1）将二叉树按完全二叉树编号。（2）将二叉树中的结点一编号顺序存储到一维数组中。 5.4.2 二叉链表基本思想：令二叉树的每个结点对应一个链表结点，链表结点除了存放于二叉树结点有关的数据信息外，还要设置指示左右孩子的指针。 5.4.3 三叉链表在二叉链表存储方式下，从某个结点出发可以直接访问它的孩子结点，但要找到它的双亲结点，则需要从根节点开始搜索，最坏的情况下，需要遍历整个二叉链表。此时采用三叉树链表储存二叉树。其中，data,lchild,rchild三个域的含义同二叉树，parent域为指向该结点的双亲结点指针。 5.4.4 线索链表按照某种遍历次序对二叉树进行遍历，可以把二叉树中所有结点排成一个线性序列。在集体应用中，有时需要访问二叉树中的结点在某种遍历序列中前驱和后继，此时，在存储结构中应该保存结点在某种遍历序列中的前驱和后继信息。前驱和后继结点的指针称为线索，加上线索的二叉树称为线索二叉树，加上线索的二叉链表称为线索链表。 5.5 二叉树遍历的非递归算法 5.5.1 前序遍历非递归算法关键：在前序遍历过某个左子树后，如何找到该结点的右子树的根指针。一般的前序遍历执行过程中，设要遍历二叉树的根指针为bt，可能出现两种情况：（1）若bt！=NULL，则表明当前二叉树不为空，此时，应输入根结点bt的值并将bt保存到栈中，准备继续遍历bt的左子树。（2）若bt=NULL，则表明以bt为根指针的二叉树遍历完毕，并且bt是栈顶指针所指结点的左子树，若栈不空，则应根据栈顶指针所指结点找到待遍历右子树的根指针并赋予bt，以继续遍历下去；若栈空，则表明整个二叉树遍历完毕。 5.5.2 中序遍历非递归算法此算法只是需要将前序遍历的非递归算法中输出的语句cout5.5.3 后序遍历非递归算法后序遍历的不同在于：结点要出入两次栈，出两次栈，这种情况的含义和处理方法为：（1）第一次出栈：只遍历晚左子树，右子树尚未遍历，则该结点不出栈，利用栈顶结点找到它的右子树，准备遍历它的右子树。（2）第二次出栈：遍历完右子树，该结点出栈，并访问它。设根指针为bt，则可能有以下两种情况：（1）若bt！=NULL，则bt及标志flag入栈，遍历其左子树。（2）若bt=NULL，此时栈空，则整个遍历结束；若栈不空，则表明栈顶结点的左子树或右子树已遍历结束。若栈顶点的标志flag=1，则表明栈结点的左子树已遍历完毕，将flag修改为2，修改为2，并遍历栈定点的右子树；若栈顶结点的标志flag=2，则表明栈结点的右子树也遍历完毕，输出栈顶结点。 5.6 树、森林与二叉树的转换 1.树转换为二叉树 将一棵树转换为二叉树的方法为：（1）加线——树中所有相邻的兄弟结点之间加一条线；（2）去线——对树中的每个节点，只保留它与第一个孩子结点之间的连线，删去它与其他孩子结点之间的连线。（3）层次调节——以根结点为轴心，将树顺时针转动一定角度，使之层次分明。 2.森林转换成二叉树 （1）将森林中的每一棵二叉树转化成二叉树；（2）从第二课二叉树开始，依次把后一棵二叉树的根结点作为一棵二叉树根节点的右孩子，当所有二叉树连起来后，此时所得到的二叉树就是由森林转换得到的二叉树。 3、二叉树转换为树或森林（1）加线——若某个结点x是其双亲y的左孩子，则把结点x的右孩子、右孩子的右孩子、……，都与结点y用线连起来；（2）去线——删去原二叉树中所有的双亲结点与右孩子结点的连线；（3）层次调整——整理由（1）、（2）两步所得到的树或森林，使之层次分明。（4）森林的遍历两种遍历方法;前序遍历后续遍历。 5.7 应用举例 5.7.1 二叉树的应用举例——哈夫曼及哈夫曼编码 1、哈夫曼树也称最优二叉树，在实际中有着广泛的应用。叶子节点的权值是对叶子结点赋予的一个有意义的数值量。 二叉树的带权路径长度设二叉树具有n个带权值的叶子节点，从根节点到叶子节点的路径长度与相应的叶子节点权值的乘积之和叫做二叉树的带权路径长度，记为： WPL=EWkLk 哈夫曼树给定一组具有确定权值的叶子结点，可以构造出不同的二叉树，将其中带权值路径长度最小的二叉树称为哈夫曼树。哈夫曼算法基本思想：（1）初始化：由给定的n个权值构造n棵只有一个根结点的二叉树，从而得到一个二叉树集合。（2）选取与合并：在F中选取根结点的权值最小的两棵二叉树分别作为左、右子树构造一棵新的二叉树，这棵新的二叉树的根结点的权值为其左右子树根结点的权值之和。（3）删除与加入：在F中删除作为左、右子树的两棵二叉树，并将新建的二叉树加入到F中。（4）重复（2）（3）两步的操作，当集合F只剩下一棵二叉树时这棵二叉树便是哈夫曼树。 2、哈夫曼编码在进行程序设计时，通常给每一个字符记一个单独的代码来表示一组字符，我们称之为编码。

《数据结构》（C语言版）是为“数据结构”课程编写的教材，也可作为学习数据结构及其算法的C程序设计的参数教材。学了数据结构后,许多以前写起来很繁杂的代码现在写起来很清晰明了. 本书的前半部分从抽象数据类型的角度讨论各种基本类型的数据结构及其应用；后半部分主要讨论查找和排序的各种实现方法及其综合分析比较。全书采用类C语言作为数据结构和算法的描述语言。本书概念表述严谨，逻辑推理严密，语言精炼，用词达意，并有配套出版的《数据结构题集》（C语言版），便于教学，又便于自学。本书后附有光盘。光盘内容可在DOS环境下运行的以类C语言描述的“数据结构算法动态模拟辅助教学软件，以及在Windows环境下运行的以类PASCAL或类C两种语言描述的“数据结构算法动态模拟辅助教学软件”。内附 数据结构算法实现（严蔚敏版配套实现程序）目录: 第1章绪论 1.1 什么是数据结构 1.2 基本概念和术语 1.3 抽象数据类型的表现与实现 1.4 算法和算法分析第2章线性表 2.1 线性表的类型定义 2.2 线性表的顺序表示和实现 2.3 线性表的链式表示和实现 2.4 一元多项式的表示及相加第3章栈和队列 3.1 栈 3.2 栈的应有和举例 3.3 栈与递归的实现 3.4 队列 3.5 离散事件模拟第4章串 4.1 串类型的定义 4.2 串的表示和实现 4.3 串的模式匹配算法 4.4 串操作应用举例第5章数组和广义表 5.1 数组的定义 5.2 数组的顺序表现和实现 5.3 矩阵的压缩存储 5.4 广义表的定义 5.5 广义表的储存结构 5.6 m元多项式的表示 5.7 广义表的递归算法第6章树和二叉树 6.1 树的定义和基本术语 6.2 二叉树 6.2.1 二叉树的定义 6.2.2 二叉树的性质 6.2.3 二叉树的存储结构 6.3 遍历二叉树和线索二叉树 6.3.1 遍历二叉树 6.3.2 线索二叉树 6.4 树和森林 6.4.1 树的存储结构 6.4.2 森林与二叉树的转换 6.4.3 树和森林的遍历 6.5 树与等价问题 6.6 赫夫曼树及其应用 6.6.1 最优二叉树(赫夫曼树) 6.6.2 赫夫曼编码 6.7 回溯法与树的遍历 6.8 树的计数第7章图 7.1 图的定义和术语 7.2 图的存储结构 7.2.1 数组表示法 7.2.2 邻接表 7.2.3 十字链表 7.2.4 邻接多重表 7.3 图的遍历 7.3.1 深度优先搜索 7.3.2 广度优先搜索 7.4 图的连通性问题 7.4.1 无向图的连通分量和生成树 7.4.2 有向图的强连通分量 7.4.3 最小生成树 7.4.4 关节点和重连通分量 7.5 有向无环图及其应用 7.5.1 拓扑排序 7.5.2 关键路径 7.6 最短路径 7.6.1 从某个源点到其余各顶点的最短路径 7.6.2 每一对顶点之间的最短路径第8章动态存储管理 8.1 概述 8.2 可利用空间表及分配方法 8.3 边界标识法 8.3.1 可利用空间表的结构 8.3.2 分配算法 8.3.3 回收算法 8.4 伙伴系统 8.4.1 可利用空间表的结构 8.4.2 分配算法 8.4.3 回收算法 8.5 无用单元收集 8.6 存储紧缩第9章查找 9.1 静态查找表 9.1.1 顺序表的查找 9.1.2 有序表的查找 9.1.3 静态树表的查找 9.1.4 索引顺序表的查找 9.2 动态查找表 9.2.1 二叉排序树和平衡二叉树 9.2.2 B树和B+树 9.2.3 键树 9.3 哈希表 9.3.1 什么是哈希表 9.3.2 哈希函数的构造方法 9.3.3 处理冲突的方法 9.3.4 哈希表的查找及其分析第10章内部排序 10.1 概述 10.2 插入排序 10.2.1 直接插入排序 10.2.2 其他插入排序 10.2.3 希尔排序 10.3 快速排序 10.4 选择排序 10.4.1 简单选择排序 10.4.2 树形选择排序 10.4.3 堆排序 10.5 归并排序 10.6 基数排序 10.6.1 多关键字的排序 10.6.2 链式基数排序 10.7 各种内部排序方法的比较讨论第11章外部排序 11.1 外存信息的存取 11.2 外部排序的方法 11.3 多路平衡归并的实现 11.4 置换一选择排序 11.5 最佳归并树第12章文件 12.1 有关文件的基本概念 12.2 顺序文件 12.3 索引文件 12.4 ISAM文件和VSAM文件 12.4.1 ISAM文件 12.4.2 VSAM文件 12.5 直接存取文件(散列文件) 12.6 多关键字文件 12.6.1 多重表文件 12.6.2 倒排文件附录A 名词索引附录B 函数索引参考书目

作　者：严蔚敏李冬梅吴伟民出版时间：2011-2-1 0:00:00 [1] 字　数：398千字责任编辑：蒋亮页　数：236页开　本：16 ISBN书号：978-7-115-23490-2 所属分类：本科 >> 计算机类 >> 数据结构与算法所属丛书：21世纪高等学校计算机规划教材——名家系列定　价：￥28.00元第1章　绪论　1 1.1　数据结构的研究内容　1 1.2　基本概念和术语　3 1.2.1　数据、数据元素、数据项和数据对象　3 1.2.2　数据结构　4 1.2.3　数据类型和抽象数据类型　6 1.3　抽象数据类型的表示与实现　7 1.4　算法和算法分析　11 1.4.1　算法的定义及特性　11 1.4.2　评价算法优劣的基本标准　11 1.4.3　算法的时间复杂度　12 1.4.4　算法的空间复杂度　14 1.5　小结　15 习题　16 第2章　线性表　18 2.1　线性表的类型定义　18 2.1.1　线性表的定义和特点　18 2.1.2　线性表的抽象数据类型定义　18 2.2　线性表的顺序表示和实现　19 2.2.1　线性表的顺序存储表示　19 2.2.2　顺序表中基本操作的实现　20 2.3　线性表的链式表示和实现　24 2.3.1　单链表的定义和表示　24 2.3.2　单链表基本操作的实现　26 2.3.3　循环链表　31 2.3.4　双向链表　32 2.4　线性表的应用　34 2.4.1　一般线性表的合并　34 2.4.2　有序表的合并　35 2.4.3　一元多项式的表示及相加　37 2.5　小结　40 习题　41 第3章　栈和队列　44 3.1　栈　44 3.1.1　栈的类型定义　44 3.1.2　顺序栈的表示和实现　45 3.1.3　链栈的表示和实现　47 3.2　栈的应用　48 3.2.1　数制转换　49 3.2.2　括号匹配的检验　49 3.2.3　表达式求值　51 3.3　栈与递归　54 3.3.1　采用递归算法解决的问题　54 3.3.2　递归过程与递归工作栈　57 3.3.3　递归算法的效率分析　59 3.3.4　将递归转换为非递归的方法　60 3.4　队列　61 3.4.1　队列的类型定义　61 3.4.2　循环队列——队列的顺序表示和实现　62 3.4.3　链队——队列的链式表示和实现　65 3.5　队列的应用　67 3.6　小结　69 习题　69 第4章　串、数组和广义表　73 4.1　串　73 4.1.1　串的类型定义　73 4.1.2　串的存储结构　75 4.1.3　串的模式匹配算法　76 4.2　数组　83 4.2.1　数组的类型定义　83 4.2.2　数组的顺序存储　84 4.2.3　特殊矩阵的压缩存储　85 4.3　广义表　87 4.3.1　广义表的定义　87 4.3.2　广义表的存储结构　88 4.4　小结　90 习题　91 第5章　树和二叉树　94 5.1　树的定义和基本术语　94 5.1.1　树的定义　94 5.1.2　树的基本术语　96 5.2　二叉树　97 5.2.1　二叉树的定义　97 5.2.2　二叉树的性质　100 5.2.3　二叉树的存储结构　102 5.3　遍历二叉树和线索二叉树　103 5.3.1　遍历二叉树　103 5.3.2　线索二叉树　109 5.4　树和森林　114 5.4.1　树的存储结构　114 5.4.2　森林与二叉树的转换　116 5.4.3　树和森林的遍历　116 5.5　赫夫曼树及其应用　117 5.5.1　赫夫曼树的基本概念　117 5.5.2　赫夫曼树的构造算法　118 5.5.3　赫夫曼编码　121 5.6　小结　123 习题　123 第6章　图　126 6.1　图的定义和基本术语　126 6.1.1　图的定义　126 6.1.2　图的基本术语　128 6.2　图的存储结构　129 6.2.1　邻接矩阵　130 6.2.2　邻接表　132 6.3　图的遍历　135 6.3.1　深度优先搜索　135 6.3.2　广度优先搜索　138 6.4　图的应用　139 6.4.1　最小生成树　139 6.4.2　最短路径　144 6.4.3　拓扑排序　150 6.4.4　关键路径　153 6.5　小结　158 习题　160 第7章　查找　164 7.1　查找的基本概念　164 7.2　线性表的查找　165 7.2.1　顺序查找　165 7.2.2　折半查找　166 7.3　树表的查找　169 7.3.1　二叉排序树　170 7.3.2　平衡二叉树　176 7.3.3　B-树　182 7.3.4　B+树　190 7.4　散列表的查找　192 7.4.1　散列表的基本概念　192 7.4.2　散列函数的构造方法　1

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