关于博弈论策梅洛定理的简略讨论

[岐ˇ山]

策梅洛定理（英语：Zermelo's theorem）是博弈论的一条定理，以恩斯特·策梅洛命名。定理表示在二人的有限游戏中，如果双方皆拥有完全的资讯，并且运气因素并不牵涉在游戏中，那先行或后行者当中必有一方有必胜/必不败的策略。若应用至国际象棋，则策梅洛定理表示"要么黑方有必胜之策略、要么白方有必胜之策略、要么双方有必不败之策略"。 策梅洛的论文于1913年以德文发表，并被Ulrich Schwalbe和Paul Walker于1997年译为英文。   以下是我对其的思考(非严谨证明)
策梅洛定理:在二人的博弈中，满足以下条件:1.双方在有限步内结束博弈 2.信息完全公开:对方所有可能性都是已知的 3.没有运气成分 4.回合制 则必然存在→一方必有必不败策略(可能先手可能后手，这点是需要额外讨论和证明的)
证明:先讨论和思考，假设有玩家一和玩家二，并且有限步n步内解决博弈。粗略看下来，当玩家1做了决策之后玩家2也会做相应的决策，如果画个n＝2的决策树，玩家一第一步:a和b策略，玩家二应对策略第一步:c、d、e、f，假设出现如下情况1:a→c→胜(第二步)，a→c→输(这一步可以省略:最后一步若输赢可能情况都具备可以省略输的情况)，a→d→输，b→e→胜，b→e→输(同前)，b→f→输，这种情况下玩家1的结局依然是输/赢，但是不存在必胜策略，当且仅当a→c→胜(第二步)，a→d→输，b→e→胜，b→f→胜，玩家一走b的时候，才是必胜。因此在无和局的情况下，第一个数学归纳法→玩家一和二每一步可能应对策略数有限且任意时，都有→玩家一有必胜策略时必胜，玩家一没有必胜策略，则玩家二必胜，这样的性质可以(第二个)数学归纳推广至无和局的任意有限n步结束博弈的问题。
加入必和局面，如下图，同上进行两个数学归纳法进行证明，可以得到策梅洛定理 勾代表赢，叉代表输，横线代表存在平局 易证玩家1先手若不败，则玩家2也存在后手不败策略