Introductory.Functional.Analysis.With.Applications下载

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本书为泛函分析的经典教材,一直被世界各国的大学作为教材来使用.
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本书为泛函分析的经典教材,一直被世界各国的大学作为教材来使用.

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This book is an introductory text in functional analysis. Unlike many modern treatments, it begins with the particular and works its way to the more general. From the reviews: 'This book is an excellent text for a first graduate course in functional analysis...Many interesting and important applications are included...It includes an abundance of exercises, and is written in the engaging and lucid style which we have come to expect from the author.' --MATHEMATICAL REVIEWS

Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications---(Applied Mathematical Sciences) Eberhard Zeidler-Applied functional analysis_ main principles and their applications-Springer (1995)----(Applied Mathematical Sciences) Eberhard Zeidler-Applied functional analysis_ applications to mathematical physics-Springer (1995)(1)

Contents List of symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Statistical definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1 Probability density function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Statistical moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2.1 Expected value. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2.2 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2.3 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Working with samples from a distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3.1 Sample mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3.2 Sample variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.3 Sample covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4 Statistics of random fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4.1 Sample mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4.2 Sample variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4.3 Sample covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4.4 Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.5 Bias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.6 Central limit theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Analysis scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1 Scalar case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1.1 State-space formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1.2 Bayesian formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Extension to spatial dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2.1 Basic formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2.2 Euler–Lagrange equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2.3 Representer solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2.4 Representer matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 x Contents 3.2.5 Error estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2.6 Uniqueness of the solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2.7 Minimization of the penalty function. . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2.8 Prior and posterior value of the penalty function . . . . . . 24 3.3 Discrete form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4 Sequential data assimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.1 Linear Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.1.1 Kalman filter for a scalar case. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.1.2 Kalman filter for a vector state . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.1.3 Kalman filter with a linear advection equation . . . . . . . . 29 4.2 Nonlinear dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2.1 Extended Kalman filter for the scalar case . . . . . . . . . . . . 32 4.2.2 Extended Kalman filter in matrix form. . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2.3 Example using the extended Kalman filter . . . . . . . . . . . . 35 4.2.4 Extended Kalman filter for the mean . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.3 Ensemble Kalman filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.3.1 Representation of error statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.3.2 Prediction of error statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.3.3 Analysis scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.3.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.3.5 Example with a QG model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5 Variational inverse problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.1 Simple illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.2 Linear inverse problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.2.1 Model and observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.2.2 Measurement functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.2.3 Comment on the measurement equation . . . . . . . . . . . . . . 51 5.2.4 Statistical hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.2.5 Weak constraint variational formulation . . . . . . . . . . . . . . 52 5.2.6 Extremum of the penalty function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.2.7 Euler–Lagrange equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.2.8 Strong constraint approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.2.9 Solution by representer expansions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.3 Representer method with an Ekman model . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.3.1 Inverse problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.3.2 Variational formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.3.3 Euler–Lagrange equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.3.4 Representer solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.3.5 Example experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.3.6 Assimilation of real measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.4 Comments on the representer method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Contents xi 6 Nonlinear variational inverse problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.1 Extension to nonlinear dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.1.1 Generalized inverse for the Lorenz equations . . . . . . . . . . 72 6.1.2 Strong constraint assumption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6.1.3 Solution of the weak constraint problem. . . . . . . . . . . . . . 76 6.1.4 Minimization by the gradient descent method . . . . . . . . . 77 6.1.5 Minimization by genetic algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 6.2 Example with the Lorenz equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.2.1 Estimating the model error covariance . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.2.2 Time correlation of the model error covariance . . . . . . . . 83 6.2.3 Inversion experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.2.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7 Probabilistic formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7.1 Joint parameter and state estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7.2 Model equations and measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 7.3 Bayesian formulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.3.1 Discrete formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7.3.2 Sequential processing of measurements . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.4 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 8 Generalized Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 8.1 Generalized inverse formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 8.1.1 Prior density for the poorly known parameters . . . . . . . . 103 8.1.2 Prior density for the initial conditions . . . . . . . . . . . . . . . . 104 8.1.3 Prior density for the boundary conditions . . . . . . . . . . . . 104 8.1.4 Prior density for the measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 8.1.5 Prior density for the model errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 8.1.6 Conditional joint density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 8.2 Solution methods for the generalized inverse problem . . . . . . . . 108 8.2.1 Generalized inverse for a scalar model . . . . . . . . . . . . . . . . 108 8.2.2 Euler–Lagrange equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 8.2.3 Iteration in α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 8.2.4 Strong constraint problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 8.3 Parameter estimation in the Ekman flow model . . . . . . . . . . . . . 113 8.4 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 9 Ensemble methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 9.1 Introductory remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 9.2 Linear ensemble analysis update . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 9.3 Ensemble representation of error statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 9.4 Ensemble representation for measurements. . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 9.5 Ensemble Smoother (ES) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 9.6 Ensemble Kalman Smoother (EnKS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 9.7 Ensemble Kalman Filter (EnKF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 xii Contents 9.7.1 EnKF with linear noise free model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.7.2 EnKS using EnKF as a prior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 9.8 Example with the Lorenz equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 9.8.1 Description of experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 9.8.2 Assimilation Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 9.9 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 10 Statistical optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 10.1 Definition of the minimization problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 10.1.1 Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 10.1.2 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 10.1.3 Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 10.1.4 Cost function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 10.2 Bayesian formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 10.3 Solution by ensemble methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 10.3.1 Variance minimizing solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 10.3.2 EnKS solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 10.4 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 10.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 11 Sampling strategies for the EnKF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 11.2 Simulation of realizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 11.2.1 Inverse Fourier transform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 11.2.2 Definition of Fourier spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 11.2.3 Specification of covariance and variance . . . . . . . . . . . . . . 160 11.3 Simulating correlated fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 11.4 Improved sampling scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 11.5 Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 11.5.1 Overview of experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 11.5.2 Impact from ensemble size . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 11.5.3 Impact of improved sampling for the initial ensemble . . 171 11.5.4 Improved sampling of measurement perturbations. . . . . . 171 11.5.5 Evolution of ensemble singular spectra . . . . . . . . . . . . . . . 173 11.5.6 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 12 Model errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 12.1 Simulation of model errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 12.1.1 Determination of ρ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 12.1.2 Physical model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 12.1.3 Variance growth due to the stochastic forcing.. . . . . . . . . 176 12.1.4 Updating model noise using measurements. . . . . . . . . . . . 180 12.2 Scalar model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 12.3 Variational inverse problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 12.3.1 Prior statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Contents xiii 12.3.2 Penalty function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 12.3.3 Euler–Lagrange equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 12.3.4 Iteration of parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 12.3.5 Solution by representer expansions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 12.3.6 Variance growth due to model errors . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 12.4 Formulation as a stochastic model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 12.5 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 12.5.1 Case A0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 12.5.2 Case A1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 12.5.3 Case B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 12.5.4 Case C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 12.5.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 13 Square Root Analysis schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 13.1 Square root algorithm for the EnKF analysis . . . . . . . . . . . . . . . . 195 13.1.1 Updating the ensemble mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 13.1.2 Updating the ensemble perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . 196 13.1.3 Randomization of the analysis update . . . . . . . . . . . . . . . . 197 13.1.4 Final update equation in the square root algorithms . . . 200 13.2 Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 13.2.1 Overview of experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 13.2.2 Impact of the square root analysis algorithm. . . . . . . . . . 203 14 Rank issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 14.1 Pseudo inverse of C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 14.1.1 Pseudo inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 14.1.2 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 14.1.3 Analysis schemes using the pseudo inverse of C . . . . . . . 209 14.1.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 14.2 Efficient subspace pseudo inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 14.2.1 Derivation of the subspace pseudo inverse . . . . . . . . . . . . 212 14.2.2 Analysis schemes based on the subspace pseudo inverse 216 14.2.3 An interpretation of the subspace pseudo inversion . . . . 217 14.3 Subspace inversion using a low-rank C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 14.3.1 Derivation of the pseudo inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 14.3.2 Analysis schemes using a low-rank C . . . . . . . . . . . . . . . 219 14.4 Implementation of the analysis schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 14.5 Rank issues related to the use of a low-rank C . . . . . . . . . . . . . 221 14.6 Experiments with m N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 14.7 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 xiv Contents 15 An ocean prediction system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 15.2 System configuration and EnKF implementation . . . . . . . . . . . . 232 15.3 Nested regional models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 15.4 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 16 Estimation in an oil reservoir simulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 16.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 16.2 Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 16.2.1 Parameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 16.2.2 State vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 16.3 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 16.4 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 A Other EnKF issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 A.1 Local analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 A.2 Nonlinear measurements in the EnKF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 A.3 Assimilation of non-synoptic measurements . . . . . . . . . . . . . . . . 253 A.4 Time difference data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 A.5 Ensemble Optimal Interpolation (EnOI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 A.6 Chronology of ensemble assimilation developments . . . . . . . . . . . 255 A.6.1 Applications of the EnKF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 A.6.2 Other ensemble based filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 A.6.3 Ensemble smoothers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 A.6.4 Ensemble methods for parameter estimation . . . . . . . . . . 264 A.6.5 Nonlinear filters and smoothers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .277

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