C++ N个节点随机排列组合可以生成多少不同的树？

[neeeewbee]

如图所示，N个相同的圆有共同的橙色方块祖先，一共能生成多少个不同的树，求一个算法思路，如果能把具体实现出来就跪谢了。

[日立奔腾浪潮微软松下联想]

请老赵解释一下

[赵4老师]

引用 32 楼 nice_cxf 的回复:

5层是20，少了个131，规律很难找

感谢斧正：

[日立奔腾浪潮微软松下联想]

就这还要1000？这个问题就是整数拆分，允许包含0的拆分，比如第一层2个，第二层4个，那么第二层的组合数就是4的2拆分(允许包含0)，共3种：
4 0
3 1
2 2

[赵4老师]

引用 33 楼 nice_cxf 的回复:

6层似乎是47？不知道对不对 第一层1个叶子：相当于5层，20个 第一层2个叶子：如果24，有3种情况，231有3种，22x有5种，21x有4种 一共15 第一层3个叶子：33 有3种，321有2种，31x有2种，一共7 第一层4个叶子：3种 第一层5个叶子：1 第一层6个叶子：1 一共1+1+3+7+15+20=47

如图，22x有5种而不是4种：

[赵4老师]

引用 19 楼 赵4老师 的回复:

拓扑问题，离开拓扑似乎没办法解决。

顶自己！

[赵4老师]

纠正#37，22x有6种而不是5种

[日立奔腾浪潮微软松下联想]

第一层2个叶子：如果24，有3种情况，231有3种，22x有5种，21x有4种 一共15
================================================
24有3种
231有3种是错的，只有2种
222有4种
2211有2种
213有1种
2121有1种
2112有2种
一共15
#33有两处算错了，但总数还是对的

[日立奔腾浪潮微软松下联想]

所以，n=6的总数还是47，不是48

[赵4老师]

引用 43 楼 早打大打打核战争 的回复:

[quote=引用 41 楼 赵4老师 的回复:]参考#37 n(6)=48

没有48，肯定是其他地方多算了，要不你画出来~ [/quote] #37

引用 43 楼 早打大打打核战争 的回复:

[quote=引用 41 楼 赵4老师 的回复:]参考#37 n(6)=48

没有48，肯定是其他地方多算了，要不你画出来~ [/quote] 我#37楼不已经画出来了吗？ 你能用红圈圈出我#37楼画的图里哪种情况是你认为多余的那种，或圈出哪两个重复了，所以你认为的正确答案是47吗？

[赵4老师]

我是剑宗；你是气宗。 我是拓扑画派；你是排列组合解析派。 两大派决战CSDN BBS！

[赵4老师]

看#37楼的图，231明明有3种。

[日立奔腾浪潮微软松下联想]

终于有时间研究了一下，#33说n(6)=47应该是对的，这个问题用整数拆分方法解决是完全可行的（而且比较简单）。
老赵一直在说“拓扑问题”，但是拓扑问题不是靠拓扑两个字解决的，实际上组合数学研究的抽屉问题（整数拆分是抽屉问题的一个抽象）、染色问题、旅行路径问题都属于拓扑问题。
简单说，解决楼主的问题，n个相同节点（n不包括固定的根节点）生成树的数量，分成两个步骤：

第一步，求n个节点的排列关系，不考虑节点之间的父子关系，相当于把树的节点之间的连线去掉的形态，这种拆分叫composition，是有顺序的，1-2-3和1-3-2、3-1-2属于不同拆分，c(n)=2^(n-1)，这个就不证明了，早就有人证过了。

第二步，对第一步生成的每一种节点排列形式，求每一层对上一层的拆分数，比如某种节点排列形式第一层有两个节点，第二层有三个，则求p(2, 1)、p(3, 2)，第一层不需要计算，因为p(n, 1)=1。p(n, k)表示把n拆分为k个非负整数（允许0）之和的数量，不考虑顺序关系，1-2和2-1是同一种拆分。p(n, k)可以递归实现，比较简单。把每一层求得的拆分数相乘，即是该种节点排列形式下生成树的总数。

将每种节点排列形式下生成树的数量相加，就是n个节点的生成树的总数。
简单计算结果（不保证正确）：
n(1) = 1
n(2) = 2
n(3) = 4
n(4) = 9
n(5) = 20
n(6) = 47
n(7) = 109
n(8) = 258
n(9) = 608
n(10) = 1443
32位有符号数只能计算到n=26

[赵4老师]

参考#37 n(6)=48

[赵4老师]

版主竟然还不把本贴加精

[日立奔腾浪潮微软松下联想]

引用 41 楼 赵4老师 的回复:

参考#37
n(6)=48

没有48，肯定是其他地方多算了，要不你画出来~

[日立奔腾浪潮微软松下联想]

发现规律：把老赵装进冰箱比把大象装进冰箱容易多了~

[赵4老师]

这冰箱质量也忒好了！

[日立奔腾浪潮微软松下联想]

是的，确实是3种，多谢老赵帮我发现了一个算法上的BUG，计算某一层对上一层的拆分数，不能只考虑上一层的节点总数，还要考虑分块数

[日立奔腾浪潮微软松下联想]

分块还要去重，只需要考虑具有不同节点数的分块，已经接近最后的胜利~

[赵4老师]

引用 2 楼 赵4老师 的回复:

拢共分三步： 1.先设N为1，2，3，自己在纸上用铅笔，橡皮画画 2.再找规律 3.再编写规律对应的递归程序

1、把冰箱门打开 2、把大象放进去 3、把冰箱门关上。 第2步比较难。 所以咱这个问题也是第2步找规律比较难哈。