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y^2 = x (mod p), 已知 x 和 p ，求 y 。

2003-08-07 05:07:39 1.1k 阅读 AI 写同款 · GEO 优化AI 选题数据监测一键分发 ›

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初等证明：使用无穷下降法证明丢番图方程x^4 - y^4 = z^2无非零整数解题：使用无穷下降法证明丢番图方程x4−y4=z2x^4 - y^4 = z^2x4−y4=z2无非零整数解.(摘自《初等数论及其应用第六版》13.313.313.3习题444) 前言：近来头脑有些短路，如此清晰的题目竟想了半天不解，坐立不安，困惑于yyy为奇数时如何处理，然则可以转化到yyy为偶数的情况. 证：假设该方程存在非零整数解x,y,zx, y, zx,y,z.因为用变量的相反数代入方程... 阅读详情

数论问题，有人知道吗？

已知 p 为一质数，0<x<p ，0<y<p ，求 y^2 = x (mod p) 。

...全文

给定两个字符串x、y，设计一个算法来判断是否存在一对正整数m、n，使得x^m = y^n。问题：（该问题转自《Algorithms（FourthEdition）》网站）给定两个字符串x、y，设计一个算法来判断是否存在一对正整数m、n，使得x^m = y^n。这里x^m表示m个x相连接所形成的字符串。在给出分析和解决方案之前我们先做一些约定： 1. 所有讨论都是在所涉及数据为正整数的前提下进行。 2. lcm(X, Y)：整数X和Y的最小公倍数 gcd(X,Y)：阅读详情

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AboutMe 2003-08-19

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看来目前已没有较快的算法了，结贴吧。
另：我有一个关于椭圆曲线的帖子，请高手支招。
http://expert.csdn.net/Expert/TopicView1.asp?id=2161996

IT_worker 2003-08-13

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对于2^380这么大的数执行速度具体有多块我不知道，不过我想只要大整数类的基本函数写的足够优化，应该能在P4上一秒中内酸出。

IT_worker 2003-08-12

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我的算法思想源于下列事实：
如果存在奇数n使得 x^n = 1%p
那么x的平方根完全可以构造出来就是：y = x^((n+1)/2) % p （***）
因为y^2 = ( x^((n+1)/2) )^2 = x^(n+1) = x^n*x = 1*x = x （这里等号都是在对p求余的情况下）
不幸的是找出这样的n或许很难或许根本找不出来，幸好菲马小定理给了我们一些帮助因为任何x都满足x^(p-1) = 1%p，这就给我寻找n提供了一些线索，不过最后的分析发现根本就不需要找出那个n来。
仍然如我上文中所述，将p-1分解成a*b 令 t = (x^b)%p 那么一定有 t,t^2,t^4,……，t^a对p取模为1，取其次数最小者为c，如果c等于a那么不幸的很t没有平方根，附带x也没有，否则可求出k使得 k*b = -1 % c，令 y = x*t^k 那么可以发现
y^b = (x*t^k)^b = x^b*(t^(k*b)) = t*(t^(k*b)) = t^(k*b+1) = t^(c*某某) = 1 （这里等号都是在对p求余的情况下）
这样的y可以根据（***）求出其平方根y2
由于 y = x*t^k 很容易解出 x = y*t^(c-k)
这样我们只需求出t的平方根t2就能得出x的平方根
x2 = y2*t2(c-k)了。

看到这里或许你认为还是要求t=x^b的平方根，问题并没有简化。但事实上是：t必然是p的a个a次根中的一个，我们只需事先求处所有这a个a次根，并求出他们的平方根即可。这个工作我在上文中的最后一段给出了描述。

feathersky 2003-08-12

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modify: so the total result number is about equal to p-sqrt(p)

feathersky 2003-08-12

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y^2=x+np 0<x<p ，0<y<p
故 n in {0,1,2,p-1}
so just compute the square number in [p,p*p], they are p^2, (p-1)^2, (p-2)^2 ...
then u can get a list of square number

for square[i];
n= [square[i]/p] , x=square[i]-n*p;

they are all right result , so the total result number is equal to p, so the complexity is O(p), but p is so big, so if you want all result the complexity
must be this.

AboutMe 2003-08-12

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我已经在网上找到一份源程序，基本上和 IT_worker 的算法一样，不过速度仍然不理想。
我再等几天，如果没有更好更快的算法的话，就结贴吧。

AboutMe 2003-08-12

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To IT_worker:
你的回答我看不大明白，能否整理一下，给出清晰严谨有条理的叙述？谢谢！

HUNTON 2003-08-07

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因为0<y<p ，所以最差的方法就是把y全搜索一遍了。就是：
int test(int x, int p)
{
int y;
if(x<=0 | x>=p) return -1;
for(y = 1;y < p;y++){
if((y*y) % p == x) return y;
}
return -1;
}

AboutMe 2003-08-07

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请大家看清标题，现在的问题是，我别处已经给出 x 和 p 的值，要求解出 y 的值。
补充一点，我已说了是数论问题，即 x y p 均为整数。

给出算法即可。
有网站链接也行。

Riemann 2003-08-07

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楼上的错了，x可以不必为完全平方数。例如：取p=7，显然x=2,y=3是它的一组解。
feathersky的是正解，只需再加上限制0<x<p及0<y<p即可。

HUNTON 2003-08-07

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因为0<x<p ，0<y<p ，所以解集就是{(x,y) | x是完全平方数，y = sqrt(x)，0<x<p}

feathersky 2003-08-07

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y^2=x+np y=sqrt(x+np)

HUNTON 2003-08-07

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这里有没有限制x、y是整数啊？反正（1，1）肯定是一组解了

zzwu 2003-08-07

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因 0<x<p ，故y^2 = x (mod p) 即 y^2 = x , 所以 y=|sqrt(p)|就是一个解

IT_worker 2003-08-07

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下面是我刚刚构造出来的一个求平方跟的算法，不知道能否满足你的要求。
记 p-1 = a*b 这里a是2的幂，b是奇数。由费马晓定理可知对任意x都有 x^(a*b)=1 % p。
首先我们希望求出所有满足x^a=1%p的数，事实上这样的x一共有a个并且他们分别为
1,q,q^2,q^3,……,q^(a-1)。首先我假定能够有某种快速算法得出这样的q。
有了q后我们可以证明对于任何的x一定存在某个i使得
(x*p^i)^b = 1 % p （求出这个i只需验证a次）
纪录 y = x*p^i, z = p^(a-i) 我们有 x = y*z %p
y的平方根我们很容易求得：sqrt(y) = y^( (b+1)/2 ) % p
如果i为奇数那么z没有平方根，当然x也没有平方根，否则sqrt(z) = p^((a-i)/2)
sqrt(y)*sqrt(z)就是我们需要的sqrt(x)

在上面的算法中将x分解成y*z需要不超过a次的验证，而sqrt(y)和sqrt(z)的求法都是直接的公式。如果我们事先能够求出p的q那么整个算法的复杂度是可以接受的。求q的算法我个人认为也不会化去太多的时间，对任何数x它要能成为我们的p需要满足x^2,x^4,……,x^(a/2)都不对p取模为1，这样我们可以从2开始将它们的b次方带入上述条件，如果满足则我们就找到了我们所需的q

IT_worker 2003-08-07

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判断y是否存在我倒是知道可以使用高斯的二次互反率，真要是把y求出来就不知道了。
关注中……！

HUNTON 2003-08-07

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错了应该是if(x<=0 || x>=p) return -1;
其实，这就是平方剩余码的内容了。平方剩余码也称QR码，是一类重要的循环码。

定义：若对某一素数p，存在有一个整数x，使x^2 == i(mod p)成立，则称i是模p的平方剩余；否则称i是模p的非平方剩余。

定理：若p是奇素数，则在1至p-1中的所有整数中，有（p-1）/2个模p的平方剩余，有（p-1）/2个模p的非平方剩余。

模p的平方剩余还有以下的性质：
（1）两个平方剩余的积或是两个非平方剩余的积仍是平方剩余。
一个平方剩余与非平方剩余的积为非平方剩余。
（2）若p=8m+1或8m-1，则2是模p的平方剩余，
若p=4m+1，则p-1是模p的平方剩余，
若p=4m-1，则p-1是模p的非平方剩余

AboutMe 2003-08-07

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回楼上：
穷举法是行不通的，因为 p 是一个很大很大的数(约等于 2^384)。
我需要一个快速算法。

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y^2 = x (mod p), 已知 x 和 p ，求 y 。

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