游戏“尼姆棋”的算法讨论

游戏“尼姆棋”是这样的玩法：棋盘是8格X8格的样子，分“红”，“黑”双方，每一列各有一红，一黑两个棋子，这两个棋子的位置是随机生成的，但是生成时有一个规则：红棋子在上方，黑棋子在下方。每局游戏开始时随机会产生一局棋，双方一次只许走一个棋子，黑棋先走，每次只能将棋子走在同一列中，只许前进，不许后退，不许不走，也不能超越对手棋子的位置。轮到对手走时也同样。双方轮流走子，谁取得最后一次走子权算赢，换句话说，谁最后无子可走算输。

算法分析如下(本文探讨人机对战)：
本文的一些提法简单介绍如下
本文所说的“剩余几列”、“几列”是指有几列还可以走棋，其余几列已经无法走棋了。
本文所说的“格数”是指某一列可以走的棋格的数量，即可以走的最大步数。
本文所说的1，2，3，4，5，6指一列可以走的格数。
ID：根据算法推导之后需要走的某一列(0<= ID <= 7)即棋盘上的从左数第几列。
步长(step)：根据算法推导之后某列需要走的步数(1 <= step <= 6)。

首先从最简单的情况分析，
剩余一列时最简单：电脑找到格数不为零的一列，返回这一列的ID，然后返回该列的格数。
剩余两列时：仔细观察就可以发现，电脑要想取得胜利，只要始终使剩余两列的格数相等就可以，即这样的话电脑就总是走最后一步，从而获得胜利。

剩余两列的算法如下：
剩余两列时，若两列所剩的格不相等，如a列余x格，b列余y个格，如果x>y则移动a列(ID=a)，否则移动b列(ID=b)，步长为|x-y|(step = abs(x-y))。目的是使对方所遇到的棋局两列相等，则计算机必赢。
如果剩余两列时两列的格数相等，那么电脑只好随机走棋，随机走棋不在此讨论。

剩余四，六，八列时，也进行类似判断和处理，这样的话电脑就总是走最后一步：
1．剩余四列时，先寻找格数相等的两列，找到后使格数不相等的另外两列格数相等。
2．剩余六列时，先寻找格数两两相等的四列，找到后使格数不相等的另外两列格数相等。
3．剩余八列时，先寻找格数两两相等的六列，找到后使格数不相等的另外两列格数相等。
4．剩余三列时，先寻找格数相等的两列，找到的话返回另一列的ID，step=该列的格数，也就是说使棋局转换为剩余两列时的情况，剩余五列，七列时也可进行类似的分析。
5．剩余五列时，先寻找格数两两相等的四列，找到的话返回另一列的ID，step=该列的格数。
6．剩余七列时，先寻找格数两两相等的六列，找到的话返回另一列的ID，step=该列的格数。

以上的棋局是最简单的情况也是比较特殊的棋局，它的处理方法称之为“算法一”。
现在分析比较一般的情况，即不满足以上条件的棋局。
剩余三列时（三个格数数互不相等），由人提出一个最初的“输棋棋局”，“输棋棋局”的意思是：电脑将某个棋局的形式走成(或者叫转换成)“输棋棋局”之后，无论对方如何走棋，电脑都可以使棋局的局面朝着电脑取胜的方向发展，从而最终取得胜利．
这个最初的“输棋棋局”是1，2，3．即剩余三列可以走棋，一列剩余一格，一列剩余两格，一列剩余三格(下文的阿拉伯数字也是同样的含义)．我们仔细观察就可以发现，无论人怎么走棋，走完之后的棋局电脑都可以用“算法一”进行处理从而取得胜利．

“输棋棋局”先存入一个结构数组falsearray，然后将剩余格数从1，2，3变换至6，6，6（由于棋局1，2，3和3，2，1；3，1，2；1，3，2等棋局实质上并没有区别，所以在变换时，首先要检测这个棋局是否以前出现过，若出现过，就不予考虑）。
棋局开始变换，对于变换之后的棋局如，1，2，4，要检测是否可以通过使该三列中的任意一列减去任意一个数i，(1=<i<6，也就是走的格数，不得使列数减少）变换成结构数组falsearray中的数据。如果可以，这就是赢棋的形势，即电脑在某一列走i个格就可以将棋局转换为“输棋棋局”从而最终取得胜利；如果不可以那么这个棋局就是一个“输棋棋局”，将这个“输棋棋局”存入结构数组falsearray，再进行下一组数据的检测。由此可以推导出剩余三列时的输棋形式。

对于剩余四列时也进行类似的讨论(剩余格数从1，2，3，4变换至6，6，6，6)，不过也有区别，比如棋局的形式是1，2，3，4．分析的时候首先要考虑是否可以使棋局减少一列(即将这四列中的某一列走完)，从而使棋局转换为数组falsearray中的数据，如果可以，这就是赢棋的形势，也就是说电脑将某一列走完就可以将棋局转换为“输棋棋局”而最终取得胜利；否则这个棋局就是一个“输棋棋局”，将这个“输棋棋局”存入结构数组falsearray，再进行下一组数据的检测。如果无法使棋局减少一列而转换为“输棋棋局”那么推导方式类似于剩余三列时的步骤，由此可以推导出剩余四列时的输棋形式。

剩余五列，六列，七列，八列时的“输棋棋局”推导方式也类似于剩余四列时的情况．处理方法称之为“算法二”

电脑实际走棋的时候，对于某种棋局，首先检测棋局是否满足“算法一”可以处理的情况，“算法一”无法处理时，将该棋局进行转化，也就是走某一列，走的步长是i，1<=i<=6，然后考察该棋局是否属于结构数组falsearray，属于的话电脑就找到了取得胜利得走法，否则的话电脑只好随机走棋．

由算法二推导出来的“输棋棋局”共有196种，看到这里您一定会发现一个有趣的现象：剩余列数是偶数时，格数两两相等的棋局(这样的棋局实际上是“输棋棋局”，而剩余列数是奇数时不存在格数两两相等的棋局)数量有208种，加上196种“输棋棋局”只是一个很少的数字-404种，而尼姆棋的实际棋局数量(2995种)则会大的多(这两种情况只占棋局总数的约13%)．那么先走棋的一方遇到“输棋棋局”和“算法一”处理后的棋局的可能性就是很小的，结果就是：先走的棋一方占便宜！但是人机对战时即便人先走棋，人取胜的可能性还是很小的，因为人脑使用“算法一”，“算法二”进行处理的速度和准确性都不如电脑，尤其是剩余列数较大的时候，比如剩余七列，八列的情况，开始的时候人很有可能是随意走棋的，电脑则不是．