求教一个组合促销的最佳组合算法

[fox_blue]

假如客户购买了四种商品 A、B、C、D 而商家规定了 ABC、ABD、BCD 三种不同的促销方案，假如对于客户来讲，BCD的方案最省钱，那么如何确定这个方案呢？请各位大侠给个思路

[BlueSky2008]

穷举一下所有方案不就行了？

[ShallowShrimp]

典型的动态规划法，查一下往届IOI竞赛题就知了．

[fox_blue]

各种组合方式有商家定义，这对程序来讲是不确定的，假如有一笔交易，满足四重组合方式 1、2、3、4 中的任意两种 12，13，14，23，24，34 那么怎么确定选择哪种方案呢？也就是选择那两种组合方式对顾客进行优惠？随着顾客购买的商品种类增多，达成组合的几率也会增大，因为交易每增加一条明细纪录，都需要重新检查一下各种组合，穷举所有的组合方案效率会不会成问题？

[fox_blue]

谢谢提醒 我去找资料好好学习学习

[BlueSky2008]

前面没太看懂楼主的意思，现在明白了。
你的意思就是说假如客户购买了A、A、B、B四个商品、而商家规定AA,BB,AB三种组合方式，
则客户可以用(AA)(BB)的组合方式,也可以用(AB)(AB)的组合方式是吧？

这个确实是有动态规划的性质的。
首先，为了便于描述，我们定义“块”是：每个种类的单独的一个商品 或 商家规定的组合方式。
这样，顾客购买的商品一定能够分解成“块”的组合。

现在问题就是：对给定的一些商品，找一个最优块分解。
使得按照这个分解方式计算总价值最小。
最优块分解有一个重要性质：从最优块分解中去掉一个块，剩下的仍是相对于剩下的商品的一个最优块分解。现在程序应该不难写了吧？

[SoftWare1999]

题目规模不大用动规一定没问题，否则空间会不够的，几天前本来我已经发了回复。结果CSDN丢失我的回复。
也就没有再发。

今天看到 BlueSky2008的想法，是对的。

但是写的时候，应该还要注意一点，如：
A 10
B 20
AAB 30

要购买3A2B
可以选择：AAB+A+B=30+10+20=60
也可以选择:AAB+AAB=30+30=60的。
显然第2种好些，这样的话，动规的最后结束集合就要扩大。

因为你的题目，假设比较少，属于自己建模的类型。自己可以再加些合理的限定条件

[fox_blue]

To ShallowShrimp(浅水虾)

我对算法不是很熟悉，不够这两天看了一下动态规划法，它使用的条件其中有一条是 “无后向性”即：将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又称为无后效性。

而我遇到的问题不满足这个条件 比如
有三种组合
组合1 可折扣3元
组合2 可折扣6元
组合3 可折扣4元
在一笔交易中，顾客的商品列表满足两种优惠方式 （1）组合1 + 组合2 或者 （2）组合3 + 组合3
如果按照每一阶段都选择最优的方案 那么第一步应该选 组合1 然后再选就只能满足组合2， 但是这种方式并不比两个组合3更优惠。


请各位大侠再帮小地想想办法，谢谢了

[fox_blue]

To: BlueSky2008()
穷举所有算法效率可能不能够接受
比如说吧，商家经常用的“买越多越便宜”的促销方案 对商品A 单价 50
（1）一次买2A 90 （2）一次买3A 120 如果顾客一次买了100A
那么这样
' 100A
' (1)/ \(2)
' 98A 97A
' (1) / \(2) (1)/ \(2)
' 96A 95A 95A 94A
' / \ / \ / \ / \
' ... ... ... ... ... ... ...
每录入一笔交易，都需要重新计算一次 这样取下来耗费的时间很难满足要求

[ZhangYv]

这个问题似乎属于“子集和”问题，我不敢断定这个问题是否NP难的,但当商品数和优惠方案很多时会明显会出现组合爆炸，用些搜索算法看看能否解决。我再回去想想，不过楼主最后别把问题考虑复杂化，也要有采用近似算法的准备。

[SoftWare1999]

你这是某年ioi的题目类似，他规定的规模刚好是申请数组的最大值。
这也是竞赛题判断是否，一点可以投机取巧的办法。
原来可以这样子，现在不知道还行不行。

如果有6件物品，10件物品呢，你怎么办？

[ShallowShrimp]

不会占很大的空间。
如果买得最多时是购买所有商品各一百件。
那么只需要建立一个四维数据things[0..100,0..100,0..100,0..100]即可。

things[a,b,c,d]=max{ things[i,j,k,l]+things[a-i,b-j,c-k,d-l] }
0<=i<=a
0<=j<=b
0<=k<=c
0<=l<=d

[ShallowShrimp]

假设客户购买了maxa个a,maxb个b,maxc个c,maxd个d.

fillchar(things,sizeof(things),maxint);

//基本价
things[0,0,0,0]:=0;
things[1,0,0,0]:=10; //A's prize
things[0,1,0,0]:=15; //B's prize
things[0,0,1,0]:=20; //C's prize
things[0,0,0,1]:=30; //D's prize

//优惠组合
things[1,1,1,0]:=35; //A-B-C
things[0,1,1,1]:=50; //B-C-D
things[1,1,1,1]:=60; //A-B-C-D
things[2,1,1,2]:=70; //2A-B-C-2D
...

for a:=0 to maxa do
for b:=0 to maxb do
for c:=0 to maxc do
for d:=0 to maxd do
begin
for i:=0 to a do
for j:=0 to b do
for k:=0 to c do
for l:=0 to d do
if things[a,b,c,d]>things[i,j,k,l]+things[a-i,b-j,c-k,d-l] then
things[a,b,c,d]:=things[i,j,k,l]+things[a-i,b-j,c-k,d-l];
end;

things[maxa,maxb,maxc,maxd]即为最优组合。

[ShallowShrimp]

只要改成递归，就有弹性了:)

[SoftWare1999]

求解维数解决了，

空间还是没有解决

你仍然要
a^maxa*b^maxb*...z^maxz，增长太快

[ShallowShrimp]

你有更好的方法吗？不妨说来听听...

[ZhangYv]

BlueSky2008() 的方法是贪心算法，因为无法证明局部最优就是全局最优，但还算是比较简单和好用的近似方法
ShallowShrimp(浅水虾) 的算法就是穷举了，可以说对于稍大一点点的规模算法就会失效了。因为这时候组合方案就暴增，求解域太大了！

[ShallowShrimp]

主要是看用在什么情况下，从应用的角度上看，动态规划还是比较实用的。