OOOO月饼节来道月饼题OOOO

BlueSky2008 2003-09-12 12:53:32

中秋团圆佳节，一家人在一起吃月饼。每个人可以吃0个或任意多个。
有人发现一个奇怪的现象，不管这家有几个人，每个人吃了几个月饼，
总能从中找出若干个人，他们吃的月饼总数是这家人人数的整数倍。

你认为对吗？
如果认为对，请给出证明。
如果认为不对，请举出反例。
昨天晚上想到的，呵呵：）

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BlueSky2008 2003-09-13

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coldcrane(清风明月) :厉害！
ZhangYv() ：你的好像也是对的，不过我看的有点晕，没清风明月的清楚，所以少给点：）

ZhangYv 2003-09-12

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归纳法：
当N = 1时命题成立；
当N = 2时命题成立；
当K = 3,N < K时命题成立； ★
当N = K时，设有集合Ci的元素总和＝i （i < K）,Ci的元素个数小等于i个，则命题即求Cn。
讨论Cn ? {a} U C(n-a == i)，对于任意的一个a，由假设★部分可得出Ci( i = 1..K-1)都存在着,故C(n-a) == Ci，(i < K)，也存在。故Cn = {a} U Ci即当N = K 时命题也成立。

因此原命题成立。由上述求解算法就是动态规划。

coldcrane 2003-09-12

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这个结论可强多了。

对于命题：
N个整数，其中必定有k(k<=N)个整数的和被N整除。
则简单的多。

记这n个数为:a[1],a[2],.....a[N],
考虑：
S[1] = a[1]
S[2] = a[1]+a[2]
...
S[N] = a[1]+a[2]+...+a[N]
若存在S[k]被N整除，那么命题成立。
否则，根据抽屉原则，必然存在 S[i],S[j],满足S[i] mod N = S[j] mod N,
不妨设i<j,那么 a[i+1]+...+a[j] 即能被N整除。
综上，命题成立。

coldcrane 2003-09-12

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哦？！记错了。
我做的题是：
对于2N-1个整数，其中必定有N个整数的和被N整除。

WYlslrt 2003-09-12

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呵呵楼主的思维真活跃，。

warton 2003-09-12

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有点意思，有点难呀！

coldcrane 2003-09-12

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如果没记错的话，这个命题只有在人数为奇数时成立。

ZhangYv 2003-09-12

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在MOD N意义下，0和N是没有区别的。感觉这个命题是对的，和数论有关吧，假设没有人吃0个（如果有人吃0个，命题成立），只要能证明那些数在MOD N下有部分在N的自然数拆分序列中猜想就是对的：
N = (N-1) + 1;
N = (N-2) + 1 + 1;
N = (N-2) + 2;
............

不过好难证啊。

SoftWare1999 2003-09-12