如何证明：对V n为正整数，有n^P－1被P整除，p为素数；

levinjoe 2003-09-30 12:16:18

最初是在素数检测中看到，最近在算一个排列问题中发现这一结果，想了一下没结果，唉高中竞赛时学的数论知识全忘光了，希望有人能提供思路！

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libi 2003-10-03

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费马小定理在数论中是用欧拉定理证明的，但欧拉定理本身就比较麻烦，不过费马小定理另有个简洁的证明方法。
对于素数p和一个任意n（n不能被p整除），令：
n = c1 mod p
2n = c2 mod p
3n = c3 mod p
...........
in = ci mod p
...........
(p-1)n = c(p-1) mod p
由于n不能被p整除且p为素数，{ci}两两互不相等。因为如果有x,y<p使得cx=cy,将上面对应的式子取出相减得：(x-y)n = 0 mod p。由于x,y<p，(x-y)必然与p互质，所以有p|n，这就与题设矛盾了。所以{ci}两两互不相等命题成立。
再将上面那些式子连乘，得到：(p-1)! * n^(p-1) = Πci mod p
由于ci两两互不相等，它们只是1..(p-1)的一个乱序排列，所以 Πci = (p-1)! 。
用(p-1)! 去除上面那个式子即得：n^(p-1) = 1 mod p
这就是费马小定理，不过要注意的是，上面做连乘时，右边要得到 Πci mod p 还需要利用p为质数证明一下，这并不困难，我懒得写了。

levinjoe 2003-09-30

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那就谈谈费马小定理的证明吧，光说根据费马小定理就毫无意义了！

libi 2003-09-30

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(n^p-n) = (n^(p-1)-1)*n
当p|n，那自然不用说了。
如果p不能整除n，则p、n互质（因为p为素数）。
根据费马小定理（也就是小菜虎提的那个）可知p|(n^(p-1)-1)。

jfguo 2003-09-30

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写错了吧，用的应该是fermat小定理：若p为素数，则对所有整数a有p|(a^p-a)
所以对数p, 如果能找到一个整数a，使p不整除a^p-a，则p一定不是素数

levinjoe 2003-09-30

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sorry,是p|(n^p-n),p为素数，n>=P；

LeeMaRS 2003-09-30

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似乎应该是这样的:

如果n是一个正整数, a^(n-1) MOD n = 1, 则我们说n是一个满足基于a的伪素数.

即对于1..n-1间的任意一个整数a来说, a^(n-1) MOD n <> 1, 则n一定是合数, 若a^(n-1) MOD n = 1, 则几乎可以肯定地确认n是素数, 因为它出错的机会非常少.

以上来自吴文虎 <<实用算法的分析与程序设计>>

frankzch 2003-09-30

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???????
2^3-1=7,7能被3整除？？？？？？？

levinjoe 2003-09-30

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呵呵，算法是不完全正确的，但定理却是好的，刚到google上搜到一篇如何证明的文章，的确有趣，体现了数学的美。
感谢jfguo(jfguo) 提供的关键字：fermat' little theory

http://sweb.uky.edu/~jrbail01/euler.htm
Leonhard Euler and His Contribution to Number Theory

大家有超星卡的可以看看陈景润的初等数论，也不错的！

ac1998 2003-09-30