一张随意方型平面纸，求如果要折成一个立方体，求最大的体积是多少，还有各个表面的面积是多少？

[zhehui]

一张随意方型平面纸，（可以是正方形的，也可以是长方型的。）

[saint001]

设长方形的长宽分别为a,b(a>b)
则折成的最大正方体边长为min(a/4,b/3)
每个面的面积和正方体的体积都好算

[SoftWare1999]

(a-x)(b-x)*x求最大值

[SoftWare1999]

(a-x)(b-x)*x/2 为体积

a*b-x*x为面积

[saint001]

问题是这种折法是不是最省
|--------|
| |
| |
| |
|--------|--------|--------|--------|
| | | | |
| | | | |
| | | | |
|--------|--------|--------|--------|
| |
| |
| |
|--------|

[saint001]

|--------|
| |
| |
| |
|--------|--------|--------|--------|
| | | | |
| | | | |
| | | | |
|--------|--------|--------|--------|
| |
| |
| |
|--------|

[BlueSky2008]

SoftWare1999 正解。

a,b 就是长方形的长，宽
x/2,可以看成立方体的高，满足x<a,且x<b

(a-x)(b-x)*x求最大值

解得x1 = (a + b + sqrt(a*a - a*b + b*b))/3
x2 = (a + b - sqrt(a*a - a*b + b*b))/3
两个解找一个合理的。
立方体的长宽分别为(a-x)/2 和 (b-x) (设a>b)

求体积的表达式是高度对称的:xyz,所以那种着法都没关系。

[zhehui]

就是要一个方体的,要有盖子的.而且目的是最大限度的利用这张纸.
上面的算法还没体现最大的利用整张纸

[saint001]

zhehui (小慧) ：
是立方体还是长方体？

[SoftWare1999]

如果不要盖子，我的答案正确

要的话，再考虑

[saint001]

SoftWare1999的结果是几个面呢？
是不是6个面？

立方体是长方体还是正方体？
题目并不是很清楚

[saint001]

如果是6个面，就不是那个方法了

再如果是正方体，就不用求解方程了

[zhehui]

是立方体还是长方体二个都好,只要能最大的利用这张纸就好.

[BlueSky2008]

楼主的条件是六个面可以相互剪开（脱离），最后拼成一个盒子。
这下变难了，关键是要找出六个面有几种安排方式。每一种安排方式都不难找出极大值。最大值将是(A/B)的分段函数。

[saint001]

好多种情况，其中最常见的（如上上面的图），长方体的三个边分别为
a+b-sqrt(a*a-a*b+b*b)
x= -----------------------
6
y=a/2-x
z=b-2x
不知道其它的情况是不是比这种情况体积大

[BlueSky2008]

长3宽2时的排列：
OOO
OOO

长6宽1时的排列：
OOOOOO

还有很多种其它排列，不同长宽比时取得最大体积的排列方式不一样。很难做。

[saint001]

引来的两个问题
1）一个长方体，展开成平面后，有几种不同的图形
两个图形是相同的，如果它们可以通过旋转和拉伸相互转换
如果是正方体，就不用拉伸了
2）上面得到的每种图形，都可以用一个最小矩形来覆盖(在裁剪问题中，给出的是这个矩形，或者是大于这个矩形的矩形)
这个矩形的长、宽是由原来长方体的三边x,y,z组合而成的
问题是长、宽的组合有几种形势(假定x,y,z是可以交换的)

第一个问题很复杂，不好把所有的情况都列举出来
第二个问题我列举了一下
只有两种形式
2x+2y<=a
2x+z<=b
和
x+y+z<=a
2x+y+z<=b
也就是在上面的两个情况下分别使目标V=xyz最大，然后比较两个结果，看哪个更大

对于第一种情况，完全可以转化为
2x+2y=a
2x+z=b
对于第二种情况，转化为两种情况
x+y+z=a
2x+y+z<=b
和
x+y+z<=a
2x+y+z=b

最好还要把a,b互换一下，比较结果的差别

[青润]

折法有很多种。例如：
|--------|
| |
| |
| |
|--------|--------|--------|--------|
| | | | |
| | | | |
| | | | |
|--------|--------|--------|--------|
| |
| |
| |
|--------|

|--------|
| |
| |
| |
|--------|--------|--------|--------|
| | | | |
| | | | |
| | | | |
|--------|--------|--------|--------|
| |
| |
| |
|--------|
|--------|
| |
| |
| |
|--------|--------|--------|--------|
| | | | |
| | | | |
| | | | |
|--------|--------|--------|--------|
| |
| |
| |
|--------|

|--------|
| |
| |
| |
|--------|--------|--------|--------|
| | | | |
| | | | |
| | | | |
|--------|--------|--------|--------|
| |
| |
| |
|--------|
单边有四中，双边就有十六种，不过，这十六种基本上是两两对称的。
将图形放在长方形中，看看如何能放得最大，这就有一个倾斜角度的问题了。
今天比较忙，只能先写到这里，给大家一个抛砖引玉的观点。
如果有时间，晚上我会作补充的。

[saint001]

还有，比如
|--------|--------|
| | |
| | |
| | |
|--------|--------|--------|
| | |
| | |
| | |
|--------|--------|--------|
| | |
| | |
| | |
|--------|--------|

不知道一共有多少种

[saint001]

对了
如qingrun(青润)所述
还有个倾斜角的问题
那就更麻烦了

[saint001]

立方体共有11种展开面
http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/solid/solid.htm
但对于每一种情况计算仍然很困难