求证，将五个随机数进行排序，至少需要七次比较！

[friendliu]

求证，将随机数五个数进行排序，至少需要七次比较！
哪位高手会呀。。。

[BlueSky2008]

TAOCP 上讲到的。最少比较排序。

[saint001]

搜索
http://search.csdn.net/expert/topic/6/603/2002/11/27/1210587.htm

[HUNTON]

7次比较把5个字母按顺序排列

void Compare(int A, int B, int C, int D, int E)
{
if(A<B)
swap(A, B);
// --> A>B
if(C<D)
swap(C, D);
// --> (A>B) && (C>D)
if(A<C){
swap(A, C);
swap(B, D);
}
// (A>B) && (C>D) && (A>C) --> A>B && A>C>D
if(E>C){ // A>B && A>C>D && E>C
if(A>E){ // --> A>B && A>E>C>D
if(B>C){ // --> A>B>C && A>E>C>D
if(B>E) // --> A>B>E>C>D
printf("%d>%d>%d>%d>%d", A,B,E,C,D);
else // --> A>E>B>C>D
printf("%d>%d>%d>%d>%d", A,E,B,C,D);
}else{ // (A>B && A>E>C>D) && B<C --> A>E>C>D && C>B
if(B>D) // --> A>E>C>B>D
printf("%d>%d>%d>%d>%d", A,E,C,B,D);
else // --> A>E>C>D>B
printf("%d>%d>%d>%d>%d", A,E,C,D,B);
}
}else{ // (A>B && A>C>D && E>C) && A<E --> E>A>C>D && A>B
if(B>C){ // --> E>A>B>C>D
printf("%d>%d>%d>%d>%d", E,A,B,C,D);
}else{ // (E>A>C>D && A>B) && B<C --> E>A>C>D && C>B
if(B>D)// --> E>A>C>B>D
printf("%d>%d>%d>%d>%d", E,A,C,B,D);
else // --> E>A>C>D>B
printf("%d>%d>%d>%d>%d", E,A,C,D,B);
}
}
}else{// (A>B && A>C>D) && E<C --> A>B && A>C>D && C>E
if(E>D){// --> A>B && A>C>E>D
if(B>E){ // --> A>B>E && A>C>E>D
if(B>C)// --> A>B>C>E>D
printf("%d>%d>%d>%d>%d", A,B,C,E,D);
else// --> A>C>B>E>D
printf("%d>%d>%d>%d>%d", A,C,B,E,D);
}else{ // (A>B && A>C>E>D) && B<E --> A>C>E>D && E>B
if(B>D) // --> A>C>E>B>D
printf("%d>%d>%d>%d>%d", A,C,E,B,D);
else // --> A>C>E>D>B
printf("%d>%d>%d>%d>%d", A,C,E,D,B);
}
}else{ // (A>B && A>C>D && C>E) && E<D --> A>B && A>C>D>E
if(B>D){ // --> A>B>D && A>C>D>E
if(B>C) // --> A>B>C>D>E
printf("%d>%d>%d>%d>%d", A,B,C,D,E);
else // --> A>C>B>D>E
printf("%d>%d>%d>%d>%d", A,C,B,D,E);
}else{ // (A>B && A>C>D>E) && B<D --> A>C>D>E && D>B
if(B>E) // --> A>C>D>B>E
printf("%d>%d>%d>%d>%d", A,C,D,B,E);
else // --> A>C>D>E>B
printf("%d>%d>%d>%d>%d", A,C,D,E,B);
}
}
}
}

[friendliu]

哥们，看不懂，解释一下吧。。大侠。。。

[gushaoping]

TAOCP是本什么书

[levinjoe]

发信人: starfish (好好学习，天天向上), 信区: Algorithm
标 题: Re: 一个弱弱的问题，请高手指教
发信站: 南京大学小百合站 (Sun Sep 21 20:12:39 2003)

5个数通过7次比较排序的方法如下。

5个数之间的大小关系构成的一个树形图T。T中的一个结点代表一个数，而一条边代表它所

关联的两个数的大小关系，T的根就是中位数。显然T中的一条边要由一次比赛来确定。在
下
面的图中，如果x大于y，则节点x在节点y的上方且x和y有一条边相连。另外，*表示一般的

数，o表示下一次即将进行比较的两个数。

第1步，先任取两个数比较，结果为：

*
|
* o o *

第2步，再取另外两个数比较，结果为：

o o
| |
* * *

第3步，按照上图比较其中两个标记为o的数，比较结果只有一种情况：

*
/ \
o *
|
* o

第4步，按照上图比较其中两个标记为o的数，比较结果有两种情况：

o o *
\ / \ / \
* * * *
| / \
* o o

第5步，按照上图比较其中两个标记为o的数，比较结果有两种情况：


* *
| / \
* * o
/ \ |
o o o
| |
* *

第6步，按照上图比较其中两个标记为o的数，比较结果有三种情况：

* * *
| | / \
* * o o
| | \ /
* * *
| / \ |
* o o *
|
*
其中第一种情况已经排好序了
第7步，按照上图比较其中两个标记为o的数，比较结果只有一种情况：

*
|
*
|
*
|
*
|
*

所以只需要7步比较就可以把5个数排好序







--
※ 来源:．南京大学小百合站 http://bbs.nju.edu.cn/[FROM: 220.114.110.215]

[PuzzleFan]

楼上第二步（再取另外两个数比较）有问题，此处还遗漏一种情况：
取第三数与刚参与比较的两数比较。

因此只证明这种方式>>>可以<<<通过7次比较排序，不是>>>所有<<可能方式。

[短歌如风]

例证法只能证明“可以”用7次比较完成，不能证明“至少”。

5个元素的全排列为5!=120，每次比较都可以把这些排列均分为二，则6次比较可以把排列分为2^6= 64组。因此必然至少有两个不同排列分在同一组，而这两个排列顺序不同，无法用同一交换序列完成排序。因此，无法用小于7次的比较次数完成排序。

[willbin]

用六次也可以呀!(七次不是最少的.)
例如:a,b,c,d,e五个数,若选一数(c)与其他四数比较,恰有两个(a,b)比它大,有两个(d,f)比它小,此次比较有四次.现分别比较(a,b)和(d,f),(假如a>b,d>f),则须比较两次.
可知大小顺序为a>b>c>d>e.共比较4+2=6次!

[短歌如风]

>...若选一数(c)与其他四数比较,恰有两个(a,b)比它大,有两个(d,f)比它小,...

若“恰好”这个数比其它数都小呢？

主要是楼主描述的不是很清楚，应该是对5个数的随机序列排序，最差情况下的比较次数最少是7次。就是说你编写一个排序算法对长度为5的序列排序，要达到无论序列处于哪一种排列，比较次数不超过N，则N>=7。否则单纯论“最少比较次数”，那4次就够了。

[willbin]

求证，将随机数五个数进行排序，至少需要七次比较！
哪位高手会呀。。。



"至少需要"的意思不是说在最佳情况下的比较次数吗?!

[willbin]

最多的比较次数是4+3+2+1=10次.

[IT_worker]

定义f(n)为决定n个数的序所需要的最少比较次数，那么本人猜想：
log2(n!) < f(n) < log2(n!)+log2(n)
这里log2(x)表示x对2的对数。

[IT_worker]

从前面2,3,4,5几个数来看f(n)似乎满足
log2(n!)<f(n)<log2(n!)+1
但如此精确的界证明起来恐怕非常难，所以上面给出一个稍微宽松的界。

[BlueSky2008]

那就是用对手论证法。

[liuhuimingming91]

应该是 7次
例如a1,a2,a3,a4,a5;
先排（a1,a2);(a3,a4);这样就比较了2次；//'()'表示其内部元素为有序
然后用Max(a3,a4)分别和a1,a2，比较 这样就有 了有序的(a1,a2,a3,a4),这样有又比较了2次
总共4次 然后用a5逐个的跟（a1,a2,a3,a4)中的三个比较就可以得出有序的(a1,a2,a3,a4,a5)

[boodweb]

将n个数的排序过程看作是在一棵2叉树上寻路（因为每次比较只有2个可能结果），而各种排序结果就是树的叶子，显然有n!个叶子，于是树高至少为h=upper_bound(log2(n!))，于是：
n个数排序至少要upper_bound(log2(n!))次比较

对于n=5,log2(5!)=6.9，即至少7次

[Autom]

一个有用的结论是对n个数使用基于比较的排序算法，至少需要ceiling(lg(n!))次比较，那么五个数至少需要ceiling(lg(5!))=7次比较。只需证明7次比较可以排序就行了。
如下5个随机的数据：
o o o o o
两次比较后：（对于有边相连的点，上面的大于下面的，右面的大于左面的）
* *
| |
# # o
比较两个*:
*---*
| |
# # o
再用两次比较，将o插入由两个*和左边的#组成的链中，有四种情况：
*---* *---* *---o---* *---*---o
| | | | | | | |
# $ o $ # $ # $
| |
o #
无论哪种情况，我们都可以通过两次比较（注意，我们将原来右边的#换成了$）将$插入到其它四个数中。
所以，7次比较足够了。

[PuzzleFan]

To liuhuimingming91(lam)

应该是 7次
例如a1,a2,a3,a4,a5;
先排（a1,a2);(a3,a4);这样就比较了2次；//'()'表示其内部元素为有序
然后用Max(a3,a4)分别和a1,a2，比较 这样就有 了有序的(a1,a2,a3,a4),这样有又比较了2次
总共4次 然后用a5逐个的跟（a1,a2,a3,a4)中的三个比较就可以得出有序的(a1,a2,a3,a4,a5)

如果Max(a3,a4)>a1,Max(a3,a4)>a2, you cannot make sure (a1,a2,a3,a4),
a1=1 a2=2 a3=3 a4=4,Max(a3,a4)>a1,Max(a3,a4)>a2, (a1,a2,a3,a4)?
a1=1 a2=2 a3=0 a4=4,Max(a3,a4)>a1,Max(a3,a4)>a2, (a3,a1,a2,a4)?