问一个数学问题！

[botao2003]

不好意思，好像问的不是地方，不过世界上每个地方总是有热心人！
问：对于函数f(x)，考虑下列命题：
I. 若f''(0)存在，则极限
lim [f(h)+f(-h)-2f(0)]/h的平方 h趋向于0
必存在且等于f''(0)
II. 若f''(0)不存在，则上述极限式必不存在
由此得到的结论是
A.I和II都正确
B.I和II都不正确
C.I正确，而II不正确
D.I不正确，而II正确

答案是C 能给我详细的讲解一下吗？

[NowCan]

看高数书。我忘了。

[tomatopj]

没法贴图，写tex吧：

$\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(h)+f(-h)-2f(0)} {h^2} =
\lim\limits_{h \to 0} \frac{\frac{f(h)-f(0)}{h} -
\frac{f(0)-f(-h)}{h} } {h} = \lim\limits_{h \to 0}
\frac{f'(0)-f'(-h)}{h} = f''(0)$

[zqrqq]

I.f''(0)存在=>f'(0)存在，所以显然I成立！
II. 若f''(0)不存在，则上述极限式必不存在(错)
反例：
f(x)=1,(x>0);f(x)=-1,(x<0);f(x)=0,(x=0)
对于f(x),显然有：lim [f(h)+f(-h)-2f(0)]/h^2=0

[tomatopj]

我前面的I的证明是用定义的
太麻烦乐
直接用两次洛比达法则即可

[botao2003]

能再详细讲解一下I中“必存在却等于f''(0)”吗？

[levinjoe]

1>只能用定义，否则算错！因为f'(x)只在零点附近可导且不一定连续！
并且中间要添f'(0)；

2>任何保证f(x)+f(-x)=2f(0)的函数中举一个在f（0）点不连续的就行！

[pinghell]

高手，俺愧为数学系的

[levinjoe]

说法的确有问题，我没多少时间研究这些，说的只是一种印象，以前看考研书上好像说个这种问题不能用卢比打发则，严格不严格看你自己认为了，不过，这种东西我是没多大兴趣了，数学分析都快有4年多没看了，不过基本分析问题的方法还是不会忘了的！

[levinjoe]

更正一下，我说的是f"(x)在0点附近不一定连续！

[botao2003]

Dengsf()真是太好了！治学精神严谨
这一条我只是设了一个特殊情况令f(x)={x^2,x>0 -x^2,x<0
就可以证明第二个判断是错的，真没想到要去证明
万分感谢Dengsf()

[wuxiaohai123]

为 f''(0)存在，
所以 f'(x) 在某个（-e, e) 存在，e>0，
f(x) 在 (-e, e) 也 存在且连续且可导。

设辅助函数
F(x) = f(x) + f(-x) - 2f(0)
由上面的 f(x) 性质可知，在（-e,e)内
F（0） = f(0) + f(-0) - 2f(0) = 0
F（x)连续，
可导,且 F'(x) = f'(x) - f'(-x)
F'(0) = f'(0) - f'(0) = 0
F''(0) = lim(x->0) [F'(x)-F'(0)] / x
= lim(x->0) {[f'(x)-f'(0)]/x + [f'(0)-f'(-x)]/x}
= 2 * f''(0)

则当 |h|<|e| 时， 1 可化为：
lim(h->0) [ F（h) - F(0)] / h^2
= lim(h->0) F'(a)/2a (这里是根据柯西中值定理，0<a<h)
= lim(a->0) [F'(a)-F'(0)]/2a (注意 F'(0）=0,0<a<h)
= 1/2 * F''(0)
= 1/2 * 2 * f''(0)
= f''(0)

[zhanglixin]

zlf_jack(风云剑客)

1>只能用定义，否则算错！因为f'(x)只在零点附近可导且不一定连续！
并且中间要添f'(0)；

我觉得你说的有问题。。f'(x)只在零点附近可导且不一定连续 因为，f''(0)存在，则f'(x)可导且连续

[dengsf]

因为 f''(0)存在，
所以 f'(x) 在某个（-e, e) 存在，e>0，
f(x) 在 (-e, e) 也 存在且连续且可导。

设辅助函数
F(x) = f(x) + f(-x) - 2f(0)
由上面的 f(x) 性质可知，在（-e,e)内
F（0） = f(0) + f(-0) - 2f(0) = 0
F（x)连续，
可导,且 F'(x) = f'(x) - f'(-x)
F'(0) = f'(0) - f'(0) = 0
F''(0) = lim(x->0) [F'(x)-F'(0)] / x
= lim(x->0) {[f'(x)-f'(0)]/x + [f'(0)-f'(-x)]/x}
= 2 * f''(0)

则当 |h|<|e| 时， 1 可化为：
lim(h->0) [ F（h) - F(0)] / h^2
= lim(h->0) F'(a)/2a (这里是根据柯西中值定理，0<a<h)
= lim(a->0) [F'(a)-F'(0)]/2a (注意 F'(0）=0,0<a<h)
= 1/2 * F''(0)
= 1/2 * 2 * f''(0)
= f''(0)
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刚看这道题，觉得很简单，平时的练习也经常出。
但细细研究一番，觉得要"严格"证明还真的比较麻烦。
让我想起念高中的时候，很多题目看上去很显然，但细细追究下去却有很多不严密的地方。去问老师，他们也经常说不出满意的结果，还说我想太多了……~_~

当然也可能我脑筋太不灵活了，想不出严格却又简单的解法。
大家觉得简单的，不妨将自己的解法介绍一下，让我学习学习。

[dengsf]

楼主请不要那么快结帖，让其它人发表一下看法。
我不要分的。

我想知道，究竟是我要求太严格，还是平时的教学不太注重严格。

[dengsf]

hoho,多谢楼主赞扬。说“治学严谨”就太过于夸张了，说“胆小如鼠”、“生性多疑”还接近一些 ^ ^

昨天做这题的时候，出乎意料的麻烦，一时有感而发，胡言乱语而已。因为以前好像见过类似的题目，也听说好像用什么两次微分中值定理来解决，当时没怎么注意……但昨天做的时候却要费这么多周折～～～感觉用两次微分中值定理不能完美解决问题，所以就乱说一通了，不知实际是如何?
zlf_jack(风云剑客)说得有理，严不严格就看个人认为了。严格的牢骚实在不适宜在这里发，hehe！反正考试的时候，严格往往会拖慢时间，得不偿失。考试/比赛考的主要是对常见知识的熟练程度，而不是这些。具体如何对待还是见人见智。
不过说回来，就我目前所学过的有限的数学知识里，觉得 微积分的教学 是 最不注重严密性 的了，有时候有的问题，细细探究一番，真的挺有趣的……希望楼主多多交流。牛人们见到此帖也恳请指教，不要只是报以不屑的冷笑 ^_^

另外问一句，楼上想说什么？