一个扑克牌问题

[FirstTime]

甲乙2人玩扑克牌游戏，每人手里有1到10共10张牌，出牌是轮流出，但不能出先前出过的牌的约数，谁最后出不下去了，另一方就是赢家。

如果甲先出，双方都采用最合理的走法，哪个必定赢？是什么样的走法？

[intfree]

10张牌，先走必胜，
怎么，不信？那就跟我的程序玩玩吧 :)


#include <iostream.h>
#include <string.h>
#include <conio.h>

const int N = 10;
const int UNKNOW = 2;
const int TRUE = 1;
const int FALSE = 0;

char win[1 << N], choose[1 << N];

int take(int &now, int p)
{

if ((p < 1) || (p > N))
{
return FALSE;
}

int mask = 1 << (p - 1);
if ((now & mask) != 0)
{
now -= mask;
for (int k = 1; k <= p; k ++)
{
if ((p % k) == 0)
{
take(now, k);
}
}
return TRUE;
}
return FALSE;

}

int calc(int can)
{
if (win[can] == UNKNOW)
{
win[can] = FALSE;
for (int i = 1; i <= N; i ++)
{
int x = can;
if (take(x, i))
{
if (!calc(x))
{
choose[can] = i;
win[can] = TRUE;
break;
}
}
}
}
return win[can];
}

void main()
{
memset(win, UNKNOW, sizeof(win));
cout << "N = " << N << endl;
int now = (1 << N) - 1;
do
{
if (calc(now))
{
cout << "computer take " << (int) choose[now] << endl;
take(now, choose[now]);
}
if (!calc(now))
{
int choose;
do
{
cout << "It's your turn: ";
if (now == 0)
{
cout << "Fail" << endl;
cout << endl;
cout << "Press any key to continue ... " << endl;
getch();
break;
}
cin >> choose;
} while (!take(now, choose));
}
} while (now != 0);
}

[FirstTime]

谢谢，但是没看明白，哪个给解释一下？

[mathe]

既然intfree的回答，想必不会错，先MARK一下，以后有空再看

[huang1034]

intfree()能够列出你的算法?或者加一些注释!
我很希望你解释一下!

[intfree]

首先注意到这是一个 博弈 的问题
因此，肯定可以用 博弈树（搜索） 的方法来解。
比如下棋，对于一个状态（棋局），
1. 如果无论我怎么走，我走之后，你都可以取胜，则我必败，
2. 如果存在一个走法，我走之后，你都必败（即下一步无论你如何走，我都必胜），则我必胜

如果没有和局，且不考虑选手失误，则每个状态或者必胜，或者必败。

博弈树就是这样的一个算法，
对于某一些状态，可以直接根据规则，得到它是必胜，还是必败
比如扑克问题，如果没有一张牌，则先走必败。
而对于其它状态，则可以用前面的(1, 2)两条规则，递归的判断是必胜还是必败。

我的这个程序就是基于博弈树算法的。

[intfree]

先对问题作一个小小的转化：

“不能取拿过的数的约数”，可以看作“把取出的数，以及它的约数都拿走了”。

比如我取10，则你不能取1, 2, 5，等价于我把1, 2, 5, 10都取走
你再取6，则又不能取3，等价于我把1, 2, 3, 6都取走（其中1, 2在上一步取走，不过这也没关系）

我用一个N bits的二进制来表示一个状态，

其中的 take(int now, int i)
就是把 now的二进制所对应的这个状态 取i这个数（和它的约数）

其中的 calc(int can)
就是判断can的二进制所对应的这个状态是否必胜

[intfree]

中间避免了重复搜索，
所以你也可以认为这个是动态规划，

其它的部分嘛，就是交互了，不需再解释了吧