●算法复杂度

penwen 2004-01-09 10:28:06

有n个数组成的序列排序，在最坏情况下比较次数为f,证明f=O(nlgn)

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GSK168 2004-01-09

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MARK!

dengsf 2004-01-09

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建立一棵决策树，其中非叶子节点表示“两个数比较”，连线表示上层节点的比较结果。
叶子节点表示，根据从根节点到该叶节点的比较轨迹，判断出来的排序结果。
比如当比较3个数，分别是 a1,a2,a3。那么可以构建如下决策树：(a1:a2 > 表示 a1>a2; 最终结果从大到小排列)
a1:a2
/> \<=
a2:a3 a1:a3
/> \<= /> \<=
a1a2a3 a1:a3 a2a1a3 a2:a3
/> \<= /> \<=
a1a3a2 a3a1a2 a2a3a1 a3a2a1

叶子节点是n个数的一个排列，显然，会出现所有的排列。
所以，即使是最好的决策，决策树的叶子数必然 >= n!
注意决策树是完全二叉树，
所以，即使是最矮的决策树，其高度 h 也满足：
2^h >= n! > (n/e)^n
h >= nlogn - nloge
因此，排序的最优效率是 O(nlogn).
最坏情况下的效率 >= 最优情况下的效率 = O（nlogn)

gnefuil 2004-01-09

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用快速排序，合并排序，复杂度都可以到O(nlogn)

qiu_xiaolin 2004-01-09

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在最坏情况下，冒泡法跟快速分类法都是0（N*N）
快速分类法的平均特性才是0（nlogn)

短歌如风 2004-01-09

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摘自严版《数据结构》：

由于含n个记录的序列可能出现的初始状态有n!个，则描述n个记录排序过程的判定树必须有n!个叶子结点。因为，少一个叶子，则说明尚有两种状态没有分辨出来。我们已经知道，若二叉树的高度为h，则叶子结点的个数不超过2^(h-1)，反之，若有u个叶子结点，则二叉树的高度至少为upper_int(log(2,u)) + 1。这就是说，描述n个记录排序的判定树上必定存在一条长度为upper_int(log(2,n!))的路径。由此得到下述结论；任何一个藉助“比较”进行排序的算法，在最坏情况下所需进行的比较次数至少为upper_int(log(2,n!))。然而，这只是一个理论上的下界，一般的排序算法在n＞4所需进行的比较次数均大于此值，直到1956年．H.B.Demuth首先找到了对五个数进行排序只需要七次比较的方法之后，Lester Ford和Selmer Johnson将其推广，提出了归并插入排序，在n＜11时所用的比较次数和upper_int(log(2,n!))相同。根据斯待林公式，有O(lg(n!))＝o(nlqn)，上述结论从数量级上告诉我们，藉助于“比较”进行排序的算法在最坏情况下能达到的最好的时间复杂度为0(nlgn)。

dengsf 2004-01-09