求证11个整数，必可找出6个，其和整除6

[shshsh_0510]

另，有谁知道好的组合数学网站，介绍一下，万分感谢！

[shshsh_0510]

to NowCan:
没有别的条件了
to Ly105(等待)：
2n个数其和必然能被2整除？不懂

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[Ly105]

想错了
2n个数其和必然能被2整除不对

同样的方法证明能被2整除巴比证明能被3整除简单

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[shshsh_0510]

to Ly105(等待) :
但一组合起来，就不一定对了
应该用到抽屉定理，但我不知道怎么用！

11个数不算多，按你的分情况讨论时可以穷举的，但我希望能有更好些的方法

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[hell190109]

是11个连续的整数吧

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[shines77]

利用Ly105(等待)的思想可以证明出来：

2n个数其和必然能被2整除
只要证明能同时被3整除就可以了

设11个数除3的余数分别为：
n1,n2,n3,n4,n5。。。。,n11(只能为1，2，0)

最平均的分布是：
0,1,2, 0,1,2, 0,1,2, 0,1,

从中可以知道至少有4个及4个以上数字是相同的，然后分支：

1) 相同的元素最多为4个时：

假如有4个0，剩下7个，同理至少有4个1或者2：
如果是4个0，4个1：选3个0，3个1就可以被3整除（其实还有其他选法，找出一种就够了）；
如果是4个0，4个2：选3个0，3个2就可以被3整除；

同理4个1的时候，至少还有4个1或者2：
如果是4个1，4个0：选3个1，3个0就可以被3整除；
如果是4个1，4个2：选3个1，3个2就可以被3整除；

再同理4个2的时候，同上。。。

2）某一个相同元素最多的有5个时：

5个0，剩下6个，至少3个1或者2:
如果时5个0，3个1：选3个0，3个1就可以被3整除；
如果时5个0，3个2：选3个0，3个2就可以被3整除；

下面同理。。。。

3）某一个相同元素最多的有6个及6个以上时：

选这相同的6个数字就可以了，比如6个1，或者6个2，或者6个0

所有的情况都证明了。。。

其实上面有些证明是可以简化的，1）和2）的里面至少有2种相同的元素有3种以上，
而选任意2种，0和1，或0和2，或1和2，各取3个组合成为6个数都可以被3整除。

得证。





4*5=20 (2)

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[whalefish2001]

哦，明白了，是我开始想错了．
不好意思．
不过，真的能证明出来吗？用算法到是可以实际举例子来看看．

我有如下的东东（可能还没有证明出来吧，大家可以看看）
任取一个大于１的整数X;
start:
if X= 1 then goto end
if X 是偶数 then X = X/2
if X　是基数　then X = X + 1
goto start
end :

最后程序总能结束（也就是说，这个不是死循环程序）
编程序的时候要考虑到中间计算过程中的数据溢出（最好在每步的中间结果都输出出来）

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[shshsh_0510]

各位，不要用编程吧，这是清华的一道考题，我不会做，很郁闷，那位赐教，可在加几百分

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[kingofwind]

楼主是要编程,通过构造所有情况下的可行解来证明?还是通过其他的方法证明?

以下是对有附加条件"其中偶数或奇数个数大于8"时的证明:
首先证明任意五个整数中存在三个整数,其和被3整除:
五个数对3取模(即对3取余),若
1,存在三个数对3的模相同,则这三个数之和能被3整除;
2,任意三个数对3的模不相同,根据鸽笼原理,存在三个数.其对3的模分别为0,1,2,这三个数之和能被3整除.

然后证明任意8个偶数中存在6个数相加,其和能被3整除:
8个数中能找到3个数,和能被3整除;
除去这3个数,余下的5个数中还能找到3个数,和能被3整除.
这样两次一共找到6个数,其和能被3整除.
事实上,这6个数的和也能被6整除.

同理可证:任意8个奇数中存在6个数相加,其和能被3整除:

至此在附加条件下,原命题得证.

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[kingofwind]

这样就还剩下偶数个数为4,5,6,7这四种情况
不知道这种方法是否可行,希望带来一点启发.

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[kingofwind]

顺便问一下,这是什么科目的考题?

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[BlueSky2008]

组合数学的考题

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[zhaoyifei1]

鸽槽原理，十一个整数必有尾数相同的两个数。被六整除意味着被2,3整除。就是所有数字之和能被3整除，而且是偶数！！不必细说了。到此为止

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[liem]

如果2n个数其和必然能被2整除
那么当n=1时，表明任何两个整数之和是偶数，但奇数与偶数之和是奇数。
因此“2n个数其和必然能被2整除”是个假命题。

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[Ly105]

不是已经说了吗？
是我记错了。

还揪我小辫.......

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[liem]

to Ly105:
对不起，我是看到了 shines的证明才说的。

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[whalefish2001]

什么意思呢?

从1 到11 这11 个数里
1,2,3,4,5,7 六个数其和为22,能被6整除?

2n 个是数其和不一定能被2整除!
比如 n=1 ,1+2 = 3

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[shshsh_0510]

to whalefish2001(whale）：

任意11个整数，必能找出6个，如：除6余数分别是5，5，5，5，5，4，4，4，4，4，3的11个数
其中5，4，4，4，4，3的和可以

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[BBfox]

可以证明2n－1个数，必可找出n个，其和整除n

证明比较复杂，可以参考相应的数论资料

但是用程序穷尽不难得出结果

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[privet]

http://www.sx110.com/readnews.asp?NewsID=498

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[shshsh_0510]

谢谢

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