求证11个整数,必可找出6个,其和整除6

shshsh_0510 2004-04-12 12:15:06
另,有谁知道好的组合数学网站,介绍一下,万分感谢!
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shshsh_0510 2004-04-14
谢谢
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privet 2004-04-14
http://www.sx110.com/readnews.asp?NewsID=498
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BBfox 2004-04-13
可以证明2n-1个数,必可找出n个,其和整除n

证明比较复杂,可以参考相应的数论资料

但是用程序穷尽不难得出结果
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shshsh_0510 2004-04-13
to whalefish2001(whale):

任意11个整数,必能找出6个,如:除6余数分别是5,5,5,5,5,4,4,4,4,4,3的11个数
其中5,4,4,4,4,3的和可以
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whalefish2001 2004-04-13
什么意思呢?

从1 到11 这11 个数里
1,2,3,4,5,7 六个数其和为22,能被6整除?

2n 个是数其和不一定能被2整除!
比如 n=1 ,1+2 = 3
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liem 2004-04-13
to Ly105:
对不起,我是看到了 shines的证明才说的。
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Ly105 2004-04-13
不是已经说了吗?
是我记错了。

还揪我小辫.......
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liem 2004-04-13
如果2n个数其和必然能被2整除
那么当n=1时,表明任何两个整数之和是偶数,但奇数与偶数之和是奇数。
因此“2n个数其和必然能被2整除”是个假命题。
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zhaoyifei1 2004-04-13
鸽槽原理,十一个整数必有尾数相同的两个数。被六整除意味着被2,3整除。就是所有数字之和能被3整除,而且是偶数!!不必细说了。到此为止
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BlueSky2008 2004-04-13
组合数学的考题
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kingofwind 2004-04-13
顺便问一下,这是什么科目的考题?
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kingofwind 2004-04-13
这样就还剩下偶数个数为4,5,6,7这四种情况
不知道这种方法是否可行,希望带来一点启发.
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kingofwind 2004-04-13
楼主是要编程,通过构造所有情况下的可行解来证明?还是通过其他的方法证明?

以下是对有附加条件"其中偶数或奇数个数大于8"时的证明:
首先证明任意五个整数中存在三个整数,其和被3整除:
五个数对3取模(即对3取余),若
1,存在三个数对3的模相同,则这三个数之和能被3整除;
2,任意三个数对3的模不相同,根据鸽笼原理,存在三个数.其对3的模分别为0,1,2,这三个数之和能被3整除.

然后证明任意8个偶数中存在6个数相加,其和能被3整除:
8个数中能找到3个数,和能被3整除;
除去这3个数,余下的5个数中还能找到3个数,和能被3整除.
这样两次一共找到6个数,其和能被3整除.
事实上,这6个数的和也能被6整除.

同理可证:任意8个奇数中存在6个数相加,其和能被3整除:

至此在附加条件下,原命题得证.
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shshsh_0510 2004-04-13
各位,不要用编程吧,这是清华的一道考题,我不会做,很郁闷,那位赐教,可在加几百分
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whalefish2001 2004-04-13
哦,明白了,是我开始想错了.
不好意思.
不过,真的能证明出来吗?用算法到是可以实际举例子来看看.

我有如下的东东(可能还没有证明出来吧,大家可以看看)
任取一个大于1的整数X;
start:
if X= 1 then goto end
if X 是偶数 then X = X/2
if X 是基数 then X = X + 1
goto start
end :

最后程序总能结束(也就是说,这个不是死循环程序)
编程序的时候要考虑到中间计算过程中的数据溢出(最好在每步的中间结果都输出出来)

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shines77 2004-04-12
利用Ly105(等待)的思想可以证明出来:

2n个数其和必然能被2整除
只要证明能同时被3整除就可以了

设11个数除3的余数分别为:
n1,n2,n3,n4,n5。。。。,n11(只能为1,2,0)

最平均的分布是:
0,1,2, 0,1,2, 0,1,2, 0,1,

从中可以知道至少有4个及4个以上数字是相同的,然后分支:

1) 相同的元素最多为4个时:

假如有4个0,剩下7个,同理至少有4个1或者2:
如果是4个0,4个1:选3个0,3个1就可以被3整除(其实还有其他选法,找出一种就够了);
如果是4个0,4个2:选3个0,3个2就可以被3整除;

同理4个1的时候,至少还有4个1或者2:
如果是4个1,4个0:选3个1,3个0就可以被3整除;
如果是4个1,4个2:选3个1,3个2就可以被3整除;

再同理4个2的时候,同上。。。

2)某一个相同元素最多的有5个时:

5个0,剩下6个,至少3个1或者2:
如果时5个0,3个1:选3个0,3个1就可以被3整除;
如果时5个0,3个2:选3个0,3个2就可以被3整除;

下面同理。。。。

3)某一个相同元素最多的有6个及6个以上时:

选这相同的6个数字就可以了,比如6个1,或者6个2,或者6个0

所有的情况都证明了。。。

其实上面有些证明是可以简化的,1)和2)的里面至少有2种相同的元素有3种以上,
而选任意2种,0和1,或0和2,或1和2,各取3个组合成为6个数都可以被3整除。

得证。





4*5=20 (2)
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hell190109 2004-04-12
是11个连续的整数吧
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shshsh_0510 2004-04-12
to Ly105(等待) :
但一组合起来,就不一定对了
应该用到抽屉定理,但我不知道怎么用!

11个数不算多,按你的分情况讨论时可以穷举的,但我希望能有更好些的方法
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Ly105 2004-04-12
想错了
2n个数其和必然能被2整除不对

同样的方法证明能被2整除巴比证明能被3整除简单
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shshsh_0510 2004-04-12
to NowCan:
没有别的条件了
to Ly105(等待):
2n个数其和必然能被2整除?不懂
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