16个相同的球，我可以把它们分成两组，三组，或四个组（每组最少两个球，最多14个球）。请问有多少种分法，赐教个公式，谢谢

[soarhigh]

16个相同的球，我可以把它们分成两组，三组，或四个组（每组最少两个球，最多14个球）。请问有多少种分法，赐教个公式，谢谢！
比如说我可以把它们分成两组，那么可以是以下几种：
2个和14个，3个和13个，4个和12个，5个和11个，…………
比如说我可以把它们分成三组，那么可以是以下几种：
2个、3个和11个； 2个和4个10个，………………
能给一个公式吗？谢谢！

[wlpwind]

对不同的分组数分别求解。

假设分n组，问题可以变为 有（16－2n)个球，分成n组，每组最少0个，最多14个，问题变得简单一些。

[liem]

每组至少有2个，我们先分每组2个，然后再分剩下的。
n个球分成m组(每组可以是空的)的分法数：
由于每个球是相同的，因此用n个0表示n个球，分成m组，我们可以在n个0中插入m-1个1表示分组。如n=5,m=3，那么：0010100是一个分组，第一组2个球，第二组1个球，第三组2个球，而0001001也是一个分组，表示第一组3个，第二组2个，第三组没有...
这样n个球分成m组转化为n个0,m-1个1的全排列(有相同元素的全排列)，也相当于在n+m-1个位置中确定m-1个位置放1。因此其排法数为：c(n+m-1,m-1)
根据这一算法，楼主的问题也就可以解决了。

[soarhigh]

两位说得都很对，可我的具体问题是，比如说：
当只能分成三组时，如何根据两位提供的公式算出分组数（每组最少两个球，最多14个球）。

当只能分成两组时，一共只有七种情况，可是根据楼上提供的公式算出的结果却不是这样。
还盼进一步赐教！

[soarhigh]

还有关键球是相同的，它的意思就是说，要将四个球分成两组，只有1种分法，可是俺liem的意思好像不是这样考虑的。

[whalefish2001]

换种分析方法。

有 16球，分成 m 组，每组最少2个，最多 14 个。
那么，也就是，有 16-2m 个球，分成 m 组，在有的组中可以没有球。（最多14个球，在此题中纯属多余，大家的看法呢？)
共有多少中分法呢？
大家会了吗？（如果不会的话，问问高中生怎么做吧）

[soarhigh]

像楼上说的那样，如果m＝2；那还有12个球，要分成两组，该怎么分？
如果用组合的公式显然不对，因为12球个都是相同的，你选一号和三号球为一组，和选四号和六号球为一组，那是一样的。
所以说，除了一一枚举，我还真的是想不出来，盼赐教！

[liem]

前面的有错，没有考虑到是“分组”
设将n个相同的球分成m组，每组至少有p个的分组数为l(n,m,p).
令L(n,m)=l(n,m,0)，则有l(n,m,p)=L(n-mp,m)，因此下面重点考虑L(n,m)
显然当n<0时有L(n,m)=0，且L(0,m)=L(1,m)=1，L(n,1)=1
另外，当m>n时，最多有n个组可以分到球，因此L(n,m)=L(n,n)(m>n)
对于L(n,m)，我们可以这样分两种情况考虑：
1)允许有组分配0个，这种分配数有L(n,m-1)种
2)不允许有组分配0个，这种分配数有l(n,m,1)种
因此：
L(n,m)=L(n,m-1)+l(n,m,1)=L(n,m-1)+L(n-m,m)

由上可得：L(n,2)=L(n,1)+L(n-2,2)=....=[n/2]+1([k]是不超过n的整数，最后可得公式：

L(n,m)=0 (n<0)
L(0,m)=L(1,m)=L(n,1)=1
L(n,2)=[n/2]+1
L(n,m)=L(n,m-1)+L(n-m,m)(n>=m)
L(n,m)=L(n,n)(m>n)

找一些简单的进行验证：4个球分3组有(0,0，4)、(0,1，3)、(0,2，2)、(1,1，2)四种
L(4,3)=L(4,2)+L(1,3)=2+1+1=4

楼主的问题：
l(16,2,2)=L(12,2)=6+1=7

l(16,3,2)=L(10,3)=L(10,2)+L(7,3)=6+L(7,2)+L(4,3)
=6+4+L(4,2)+L(1,2)=10+3+1=14

l(16,4,2)=L(8,4)=L(8,3)+L(4,4)
=L(8,2)+L(5,3)+L(4,3)+L(0,4)
=5+L(5,2)+L(2,3)+L(4,2)+L(1,3)+1
=5+3+2+3+1+1=15