请问:在一个平面坐标系里,这样的一个三角形是否存在

[JK_10000]

请问:
在一个平面坐标系里,是否存在这样的一个三角形:
每个顶点的坐标值都是整数的等边三角形.

[BlueSky2008]

不存在，用两点坐标表示另一点，可证明如果两点坐标是有理数的话，另一点一定是无理数。

[gxqcn]

可用反证法。

假设存在这样的“格点正三角形”，其边长为a，面积为S，
∵ 对于一个“格点多边形”，其面积的两倍必为整数，
∴ 2S = √3 * a^2 为整数，故 a^2 = (2S) / √3 为无理数，
又 a^2 为正三角形任意两个顶点的坐标差的平方和，如果均为格点，a^2 必为整数，
与上述推论相矛盾，假设不成立，即不存在“格点正三角形”。

该证法可以很自然地研究是否存在更多边的“格点正多边形”。

[gxqcn]

一个“格点多边形”的面积的两倍，其值必为整数。

证明如下：
可将“格点多边形”划分为许多直角三角形，其面积为这些直角三角形面积的代数和，
而这些“格点直角三角形”的面积的两倍均为整数，所以结论成立。

附：【格点多边形】所有顶点的横纵坐标均为整数的多边形。（我自己定义的）

[gxqcn]

昨晚状态不好，居然犯下低级错误，好在对论证并未造成太大的影响。

正三角形的面积应为：S = √3/4 * a^2 （原来的少除了2）

[yyxxh]

欧氏几何里平面直角坐标系下一定没有了,很好证明的.其他情况我就不知道了.

[tudou614]

怎么会不存在呢？？

这样的多的是啊！！

如：直角三角形，三个顶点分别是A(0,0),B(0,y),C(x,0)其中的x和y 都是整数！！！

[tudou614]

哎，傻了，等边的不存在！！

[programfanny]

不存在的，其它都有可能。

[JK_10000]

回复人： BlueSky2008(懒惰是程序员的美德) ( ) 信誉：160 2004-06-10 18:09:00 得分: 0

不存在，用两点坐标表示另一点，可证明如果两点坐标是有理数的话，另一点一定是无理数。


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怎么证明的，能发给俺么？:
[e-mail]

[JK_10000]

回复人： gxqcn(GxQ) ( ) 信誉：100
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好像是对的，
等等俺整理一下。

[JK_10000]

设存在这样的一个等边三角形(0，0)(m1,n1)(m2,n2)
其面积s=√3/4 * a^2 =√3/4 *(m1^2+n1^2)
的确是一个无理数。