[难题征解] 反求线性相关数组

[gxqcn]

为了引出该问题，特自定义一个概念以方便阐述（可能叙述得不够严谨，或与现有的术语相冲突，欢迎指正）：

【线性相关数组】已知一个二维数组 C={c[i][j]}mxn，如果存在两个一维数组 A={a[i]}m、B={b[j]}n，使得 c[i][j]=a[i]+b[j] （0≤i≤m-1，0≤j≤n-1）均成立，则称 C 与 A、B 线性相关，记作“C = A⊙B”。

问题如下：已知二维数组 C 的某个排列 C'（即其 mxn 个元素被随机打乱了），请反求出对应的 A、B，使得 C = A⊙B。

输出要求：
1、A、B均按升序排列（A⊙B 可能得到的仍是 C 的某个排列，但已不影响结果的价值了）；
2、如果 m==n，则附加要求 A≤B（按字典排列）。

可简化条件：
1、已确知确实存在 A、B，使 C = A⊙B 成立；
2、规定 C （或 C'）所有元素为非负整数，且两两不等，最小元素为 0。

讨论：
1、如果有人可迅速判定“是否存在 A、B，使得 C = A⊙B 成立”的快速算法，欢迎提供；
2、如果满足上述“简化条件”2，则对应的 A、B 也具有相应的性质（所有元素为非负整数，且两两不等，最小元素为 0），欢迎讨论；
3、如果满足上述“简化条件”，在依“输出要求”的前提下，A、B 是否具有唯一性，也欢迎讨论。

备注：不要求给出代码，但须将算法思路阐明。

[gxqcn]

为了更好的理解本问题，我再举一个简单点的例子：

大家都知道“乘法表”，其实还有更简单的“加法表”:)，如下：

A\B┃ 0 3 8 17
━━╋━━━━━━━━━━
0 ┃ 0 3 8 17
1 ┃ 1 4 9 18
2 ┃ 2 5 10 19
12 ┃ 12 15 20 29

我们把右下角的矩阵记为 C，左列记为 A，上行记为 B（如上图），

如果已知 A={0,1,2,12}、B={0,3,8,17}，很容易计算出 C=A⊙B；

反过来，如果已知 C 的某个排列 C0={0,1,2,3,4,5,8,9,10,12,15,17,18,19,20,29}，
又该如何反求出上述的 (A, B)?!

to BlueSky2008(懒惰是程序员的美德)：
恕我直言，上述链接，打的牌子很大，但很多研究的层次较低（协会里的成员很多是退休的教师，对现代数学和计算机都不太了解），真正可供参考的资料非常有限，而我的站点则专注于相应的学术研究和交流，所以在国际上的影响远高于前者。

[levinjoe]

算法其实很简单的：
由于C可乘以任何算子变化，不妨考虑将A B均不降排序；
对应的C'满足如下情况
C’【0】【0】最小，C’【0】【1】与c'【1】【0】有一个为次小。
考虑以上两种情况，由于具有对称性，不妨考虑一种，C'【0】【1】次小，
则由等差数列的性质，可得到B+A[0]，检查是否均在C‘中。
去掉以上元素，则C'[1][0]为以下元素中最小的。
从而可以确定A＋B【0】，这样便完全生成C’的一种新排列，检测是否是就可以判断能否分解。
并且有C’[0][0]+1种分解方法。
如果两种考虑都行，就有2*（C’【0】【0】＋1）种！

[kerbcurb]

没有说清楚，sorry

我的意思是这样：
c[0][1] - c[0][0] = b[1] - b[0],c[0][2] - c[0][1] = b[2] - b[1],...,
c[0][m - 1] - c[0][m - 2] = b[m - 1] - b[m - 2];

c[1][1] - c[1][0] = b[1] - b[0],c[1][2] - c[1][1] = b[2] - b[1],...,
c[1][m - 1] - c[1][m - 2] = b[m - 1] - b[m - 2];
......
c[n - 1][1] - c[n - 1][0] = b[1] - b[0],c[n - 1][2] - c[n - 1][1] = b[2] - b[1],...,
c[n - 1][m - 1] - c[n - 1][m - 2] = b[m - 1] - b[m - 2];

对于a[i]也有类似的关系，如果你能构造出a[0],b[0],问题很容易解决

[kerbcurb]

这样问题要复杂
看来你的意思是这样：
已知有m * n个整数的一维数组C,并且：元素均为非负整数，且两两不等，最小元素为零。要求构造出两个一维数组A[m]和B[n]，使得A[i] + B[j](i=0,1,...m - 1,j=0,1,...,n - 1)可以在C中找到，并且要求A、B的元素分别两两不等，非负。
好像是NP问题，我对NP不了解，爱莫能助。

[gxqcn]

to kerbcurb():
可令：a[0]=b[0]=0.
现在的问题是：矩阵 C 的元素顺序被打乱了，而且很难预测恢复回去。所以上述推理虽然合理，但并不有效，因为问题的关键点和难点还没触及。

请大家关注我于 2004-06-29 21:24:00 写的修订提法，规定了 A、B、C 均为非负整数数组，且 C 各元素两两不等，最小元素为 0.

[loisdcs]

如果C各元素两两不等，那么问题是无解的。因为A[i] + B[j]＝A[j] + B[i],C中至少两个元素是等的。
实际上，楼主快胡涂了。
如果C中元素顺序被打乱了，但保持行和列，问题是容易的。
如果不保持行和列，那么考虑C中的最大最小元可以顺序确定A,B.

[gxqcn]

“A[i] + B[j]＝A[j] + B[i]”，谁说的？

建议先用楼上那个简单的例子（写于 2004-06-30 09:39:00）印证一下吧。。。

[loisdcs]

是我胡涂了。如果A=B那么是容易的。楼主很聪明啊:24＝8/(3-8/3)。
另一个方法是把它们变为单变量多项式各分量的指数，比如C0={0,1,2,3,4,5,8,9,10,12,15,17,18,19,20,29}，变为C(x)=1+x^1+x^2+x^3+...+x^{29}。然后在Z[x]中分解C(x)，一般想起来不应是多项式算法，但有篇文章(Factoring Polynomials with Ration Coefficients, Math. Ann. 261, 515-534。即LLL算法)提到一个方法，时间复杂度为O（n^{12}+n^9(log|f|)^3)。当然实际运行起来多少有点不同的。我正在琢磨这篇文章。想来，楼主提出的问题应该有多项式算法。

[pcs_starfish]

A，B求C是唯一的，但是C求A，B不一定有解呀。

[gxqcn]

to loisdcs(安全密码):
你说的那篇文章在哪里可以下载到，可以给我寄一份吗？谢谢！

[loisdcs]

http://springer.lib.tsinghua.edu.cn/app/home/journal.asp?wasp=nntrylrumg0j46lx8ue3&referrer=parent&backto=subject,59,82;
或者
http://134.76.163.65/agora_docs/129237TABLE_OF_CONTENTS.html
找第261卷。。。。。

[loisdcs]

如果你找不到，如何给你？
我时间紧张，还是没有看完这篇文章

[gxqcn]

mailto:[e-mail]
3QU!

[loisdcs]

文件比较大，分成了47封。

[gxqcn]

非常感谢您！
47 份发送起来需要足够的耐心，我非常感激！
刚才我到邮箱收了一下，比较可惜的是附件全是乱码，遗憾之至！
所以，请您用 WinRAR 进行压缩分割，直接发送到我所在公司的邮箱里，
具体 eMail 地址我将给您发短消息告诉您。
如果未查看到短消息，请及时给我留言，谢谢！

[zzwu]

这个题目很有意思!

从几何学的观点看,就是把正整数N放在平面格点(X,Y)上,使X+Y=N,且把N看作Z坐标后,则所有的空间点{(X,Y,N)}都位于空间的一个平面上.

[zzwu]

例如,将:

A\B┃ 0 3 8
━━╋━━━━━━━
0 ┃ 0 3 8
1 ┃ 1 4 9
2 ┃ 2 5 10

改为:

A\B┃ 0 . . 3 . . . 7
━━╋━━━━━━━━━━
0 ┃ 0 . . 3 . . . 7
1 ┃ 1 . . 4 . . . 8
2 ┃ 2 . . 5 . . . 9

则将表中的值看成二元函数z=f(x,y)在对应位置(x,y)的函数值,则所有点{(x,y,f(x,y))}在同一平面.

[zzwu]

例如,将:

A\B┃ 0 3 7
━━╋━━━━━━━
0 ┃ 0 3 7
1 ┃ 1 4 8
2 ┃ 2 5 9

改为:

A\B┃ 0 . . 3 . . . 7
━━╋━━━━━━━━━━
0 ┃ 0 . . 3 . . . 7
1 ┃ 1 . . 4 . . . 8
2 ┃ 2 . . 5 . . . 9

则将表中的值看成二元函数z=f(x,y)在对应位置(x,y)的函数值,则所有点{(x,y,f(x,y))}在同一平面.

[gxqcn]

依 CSDN 的公告，这个帖子将于近日结贴。

多么希望在结贴前能有高手前来“揭贴”啊。。。

[zzwu]

如果不考虑效率,问题是不难找到解决方案的.

建议重开一个,让大家再仔细想下去.