证明：(1*3*5*7*...(2n-1))/(2*4*6*8*...2n)是非循环小数

[liangbch]

我想使用优化的算法求反正弦，发现反正弦公式各项中包含类似下面的因子，(1*3*5*7*...(2n-1))/(2*4*6*8*...2n)，经过对较小的n进行计算，发现为有限小数（非循环小数),因此大胆推出，类似的表达式是有限小数，那位能给出证明。
预备知识，如果一个最简分数（即分子分母互质)的分母仅 含有因数 2和5，则这个分数为有限小数。本题中，如果能够证明 这个分数化简后（约分 ）后，分母仅仅含有质因数2 即可。如果证明这个命题是错的，请举出反例。

[liangbch]

"分母仅 含有因数 2和5" 应为 "分母的质因数 仅含有2和5"

[shines77]

先查看关于双阶乘的定义：
http://mathworld.wolfram.com/DoubleFactorial.html

你的等式等于：(2n-1)!! / (2n)!!

由上面那个页面里的公式(6)和(8)得到：
(2n-1)!! / (2n)!! ＝ [(2n)! / (2^n * n!)] / (2^n * n!)
＝ (2n)! / (4^n * (n!)^2 ) [1]

而利用排列组合的公式C(n, m) = m! / (n! * (m-n)!) 得到：
C(n, 2n) = (2n)! / (n! * n!) [2]

所以上式[1]等于：
C(n, 2n) / 4^n [3]

由排列组合的知识知道C(n, 2n)必为整数，(n>0)，所以分子必为整数，而分母必为2的幂次方，所以是有限小数。