求助：一个有应用背景的算法

[gofor]

一个m*n矩阵，其元素值为0或1，且任意两行和两列的四个交叉元素不全为1。
以行序为主序顺序存储该矩阵时，可以把该矩阵看成一个二进制数。
假设任意两行可交换，任意两列可交换，请设计一个算法通过行交换和列交换，使这个二进制数达到最大。要求时间复杂度为多项式级。

[101monster]

呵呵，UP！

[zzwu]

语言描述不容易看,请举一个具体例子先.

[gofor]

比如如下矩阵：
0 1 1 0 0
1 0 1 0 0
1 1 0 0 0
0 1 0 0 1
0 0 1 1 0
1 0 0 1 0
1 0 0 0 1
通过适当的行交换、列交换，可变成
1 1 0 0 0
1 0 1 0 0
1 0 0 0 1
1 0 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
按行主序顺序存储(即写第一行元素，再写第二行元素，...)，则为二进制数：11000101001000110010011000101000101
求：设计一个算法，通过行交换、列交换，使这个数最大。

[skystar99047]

问大学学生或老师，很快会有答案的，俺大学里学的线性代数和高等数学已经忘得差不多了。

[whycadi]

先找1最多的一行（假设有A个1），把它移到第一行，并把所有的1移到最前面的列。由条件可知，其它各行在移到以后，前面A列中都只有最多1个1。然后找这些行前面A列有1，后几列中1最多的一行（假设有B个），把它移到等二行，把前面A列中为1的那一列移到第一列，把A列以后的B个有1的列移到从A＋1列开始的B列，然后找在前A+B列1最多（最多两个）并且后面列中1最多的一行放到第三行…………以下过程类似。
如果某一步有多行的1数目相等，就分别选一行放在前面走几步，每走一步比较一下，比出大小来就选大的那一种走下去。

[gofor]

谢谢各位的参与，我有7000多分，给本贴的参与者我都会给分，对有价值的发言，我不会吝啬分数的:-)

whycadi的算法我是考虑过的，他漏了一种情况，就是每列中为1的元素可能不止两个，可能是受了我给的例子的误导。而且这个算法的时间复杂度是多项式级的吗？

不过，不妨把这个问题简化，就是再加一个限制条件：即每列中为1元素有且只有两个。

我举的例子中，变换所得的结果不是最大数，最大数应是：
1 1 0 0 0
1 0 1 0 0
1 0 0 1 0
1 0 0 0 1
0 1 1 0 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1

另外，我希望哪位最好用高级语言写出完整算法:-)

[sten]

我先分析一下：）
　　　在同一正方形（指的是如 1 0 的形式）不能同时为　1　，且在相邻两行（列）中，不能
0 1

出现有两列（行）相同的 1 ( 1 0 0 0 1 1 1 )这样是不允许的，因为平移后会出现前一种情
1 0 1 0 0 0 1
况.不知对各位有没有帮助，剩下的思考中......！

[gofor]

等待中...

[zzwu]

同意whycadi(保护视力)的做法.

[zzwu]

已经没有更多的可说了.

[gofor]

还有人对这个问题有兴趣吗？:(
如果这个帖子落到第3页，我就结贴，参与讨论者都有分。

[mathe]

whycadi(保护视力)的方法已经说明的很清楚了，就剩一些补补丁丁可做了，该结贴了。

[conghonglei]

第一个数是可以确定的，行1最多的那个，如果有行相同多个1，则按列最多1确定第一行第一列。

由此分为两部分，第一位为1的，和0 的。然后递归。

确定第一行第一列实际也是一个递归的过程。

个人见解，供大家参考。

[gofor]

我也希望写出一个清晰的递归过程，但问题远非conghongler所说的那么简单，whycadi提出的算法似乎只是开始。

[gofor]

第一步，显然是找出最多1的行，通过“行交换”到第1行；再通过“列交换”把第1行的元素1集中到最左边。如果最多1的行有多个，只能每行分别试了。

同上帖，现在除了第1行元素已经确定，剩下的矩阵被分成左右两部分。

第二步，接下来，似乎可以进一步一分为四，左部分中有1的行显然应该放交换到最上面，如此可分为如下四部分：
　　　
111.....1　000.......0　　　－－－这是第1行
－－－－－－－－－－－－
　　　 　｜第I部分
　单1　　｜　　？？
　｜
－－－－－－－－－－－－
　　　 　｜第II部分
　全0　　｜　　？？
　｜

“单1”部分每行有且只有一个1

第I部分的划分似乎与第一步类似，但不是。这一部分只能如此
111.....1　000.......0　　 　－－－这是原第2行
－－－－－－－－－－－－
　｜　　｜
单1｜全0 ｜　　？？　　　　　－－－这是原第I部分
　 ｜ ｜
－－－－－－－－－－－－
　｜　　｜第II部分
全0｜单1 ｜　　？？　　　　　－－－这是原第II部分
　｜ ｜

问题复杂了，我头大了..... :(

[conghonglei]

| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ....
< 首位为1 >< 首位为0....

首先确定第一个数字。（假设已有办法可确定）
确定后分为两部：[1，5)， [5...]

以行数小的为优先，确定列的位置。

先求出第一部分
由于 任意两行和两列的四个交叉元素不全为1，其余部分只是计算1的个数而已，对于个数相同的，
由相应的 首位为 0 的确定。
在最后记录下，有哪些列的位置没有确定

第二部分
因为部分列已被确定，有局限，但基本上还是一个递归。

[conghonglei]

问题的复杂只在于 如何找出第一行第一列

其中利用 任意两行和两列的四个交叉元素不全为1 这个条件是十分重要的

1 11..........11 000000 0000..000...
1 111..1 000..0000...
1 全部为0 0同理0 11...10...
1 具体列的顺序 00...0 0同理01..10
1 由第二部分确定 000000000000000001.. 10...
1 000000 000000 00000000011..1000
0 ------------------------------
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