请教高手一个关于回溯的算法

[HuangRwen]

用回溯算法，编写一个函数fill(int num, int n)，用0到num-1的数填充n*n的矩阵，要求填充的数不能重复，各行元素之和相等，各列元素之和也相同，输出所有可能的填充结果。

非常感谢！！
给出个大概算法也好。

[baryjim]

楼主啊！！fill(int num, int n)，里面得n应该不是n阶矩阵，而是递归得层次！！

用回溯的方法！！
fill(int num,int n)
{
if (n==num) output();
for(int i=0;i<num;i++){
a[n]=i;//这里a[n]相当于把二维矩阵映射到1维上
if (condition()==true)
fill(num,n+1);
}
}

[HuangRwen]

thank you two above so much!! but there seems sth do not match the
damands--"各行元素之和相等，各列元素之和也相同".
could you please explain more explitely to me?

any reply would be appreciate.

thank you,Baryjim

[HuangRwen]

关键是每次填一行和一列，而不是填一个数，这个理解有没有错？
回溯时退一行还是一个数？这个condition()应该怎么写。

希望可以得到够详细一些的解释，非常感谢 mmmcd(超超)，谢谢！！
谢谢baryjim

　　要是分不够的话可以再加.

[rickone]

直接用回溯会算死人的啊~~~
看看有关幻方的构造方法吧。

[mmmcd]

fill(int num,int n)
{
if (n==num && 各行元素之和相等，各列元素之和也相同) output();/*直接计算吧*/
for(int i=0;i<num;i++){
a[n]=i;//这里a[n]相当于把二维矩阵映射到1维上
if (condition()==true)
fill(num,n+1);
}
}

[HuangRwen]

谢谢以上各位

[sgal]

楼主你搞懂了？
我没看懂，你在什么时候判断是否回溯？等所有的空格都填好了再判断吗？
显然不行噻，那什么时候呢？
望指教~~~

[jp1984]

构造幻方。。直接算的话 每个格要试探 num - 1次，一共n^2格。。效率太夸张了 O(num ^(n^2))

[baryjim]

楼上说的是最坏情况下，但是到达最坏情况下的概率也是很低的，所以效果没有你想象的那么糟糕。

回溯自然不是所有空格都满的情况下判断是否合适，那样就是穷举了，没填充一个空格就要判断一下，发现不合适马上回溯！！

[HuangRwen]

我觉得也是啊，呵呵
有没谁方便写出比较详细一点的实现供大家
参考一下？谢谢

[baryjim]

to rickone(RickOne)：
我记得幻方比这个要求高吧！！斜线也要求相等，楼主这个没要求，所以会丢解的！！

[baryjim]

呜呜，没有实践就没有发言权啊！！看来jp1984(吕青萍C) 的悲观是有道理的！！我做的程序，当规模达到4的时候，几乎就不出结果了！！

#include<iostream.h>
#define length 3
#define limit length*length-1
#define total (1+(limit))*(limit)/(2*length)
int a[length][length];
int b[limit];

void output()
{
for(int i=0;i<length;i++){
for(int j=0;j<length;j++)
cout<<a[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
cout<<endl;
}

//这是排列问题，所以需要用交换函数来避免重复的数字写入
void swap(int& i,int& j)
{
int k=i;
i=j;
j=k;
}

void fill(int num,int t)
{
int k=0;
int i=0;
int j=0;
int ii=0;

if (t>limit) {
cout<<"mark"<<endl;
output();
return;
}

int row=t/length;//递归n层当前所在的行和列
int column=t%length;

for(ii=t;ii<=limit;ii++){
swap(b[t],b[ii]);

for(int i=0;i<=limit;i++)
a[i/length][i%length]=b[i];//赋值

//当前赋值过的所有数组元素是否满足条件，如果有一个不满足的，则回溯
for(i=0;i<=row;i++){//检查行元素之和
k=0;
for(j=0;j<=column;j++)
k+=a[i][j];
if (k>total) {swap(b[ii],b[t]);return;}
}

for(i=0;i<=row;i++){//检查列元素之和
k=0;
for(j=0;j<=column;j++)
k+=a[j][i];
if (k>total) {swap(b[ii],b[t]);return;}
}

fill(num,t+1);//递归到下一层
swap(b[ii],b[t]);
}
}

void main()
{
for(int i=0;i<=limit;i++)
b[i]=i;
fill(limit,0);
}

[baryjim]

我的方法是用交换的方式来给2维数组赋值的，所以不用考虑数字重复的情况，故是num！级别的！

当方阵为4×4的时候，就是16！了，所以算不出来结果，看来回溯在解决这个问题上效率捉襟见肘啊！！

建议楼主换方法吧！！

[HuangRwen]

thank you so much, baryjim!!!!

[mmmcd]

构造一个幻方有很标准的方法。

楼主感兴趣的是回溯法还是幻方？

[HuangRwen]

是回溯了，呵呵
加上递归和组合方面， mmmcd(超超)大哥能不能给点指导？谢谢

[jp1984]

回朔的话本题不是个很好的例子，本题组合数虽然大，但是构造幻方有简便方法。

[chenzhichao2008]

用回朔，可以再优化一下，将数字系列分成两半（高数区和小数区）
如(01234)和(56789)
填数时，从高数区取一个数，与低位区取一个数，分别填在对称的位置
再加一些条件限制如：每一行（列）之和不能小于最大数(9)
每一行（列）之和不能大于最大数与中间数之和(9+4(5)=13(14))
这样搜索范围就大大减小了

[baryjim]

的确如此，我也发现了这个情况，在递增或者递减顺序下，调试中我观察数据的变化情况，真的很难做！数据在及其缓慢向目标移动，真的很心急，如果是遗传算法直接来个变异就ok了。

我想，把数据顺序打乱，以任意顺序来做也应该不错。能尽快得出一个解，但是对输出所有解帮助不大呀

[Woodman007]

"各行元素之和相等，各列元素之和也相同",这个“每行之和”是确定的：

Σ第i行之和 = 0 +1 +2 +……+(n^2-1) ， 而“每行之和”是相等的，所以

“每行之和” = [ 0 +1 +2 +……+(n^2-1)]/ n = [(n+1)(2n+1)/6]-1/n

“每列之和”也一样，所以算法可以是这样：每次填一行，每行之和为[(n+1)(2n+1)/6]-1/n，不合条件就回溯