数的范围（二分题目思路与两种模板的使用）

[卡朋名]

二分问题

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二分问题分为整数二分和浮点二分。

整数二分

二分的本质是边界。假设在一个区间上定义了某种性质，整个区间可以被一分为二，使得这个性质在右半段区间满足而在左半段不满足。二分可以寻找边界，既可以找到左半段的右边界a，也可以找到右半段的左边界b

l       ab                  r
  xxxxxxxxxoooooooooooooooooooo

对于求两个边界，使用略微不同的模板。

情况一：在右半段寻找左边界（即寻找符合性质的第一个点）

每次将区间划分为[l, mid]和[mid + 1, r]（[l, mid]是因为mid点可能就是左边界，所以这里不用[l, mid - 1]

int bsearch(int l, int r)
{
    while(l < r){
        int mid = (l + r) / 2;
        if(check(mid)) r = mid; //如果符合性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

情况二：在左半段寻找右边界（即寻找不符合性质的最后一个点）

每次将区间划分为[l, mid - 1]和[mid, r]（这是因为如果mid点符合性质，那么下次划分右边界肯定从mid-1开始）

int bsearch(int l, int r)
{
    while(l < r){
        int mid = (l + r + 1) / 2; 
        if(check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

mid = (l + r + 1) / 2这里，+1是因为除法下取整，在r = l + 1时更新l = mid时会出现l = mid = l的死循环。+1则相当于上取整，解决了这个隐患。

浮点二分

通常是函数求根、开方等问题，比较简单，while循环终止条件是精度e，更新时l和r都更新为mid即可。