算法设计与分析第一章2022222232计硕2贾佳

ehair 2022-10-15 23:45:45

一·知识点与总结

知识点：

1·算法与程序：

（1）算法：若干指令组成的有穷序列。

四大性质：零个或多个输入、

至少一个输出、

确定性以及可行性（无歧义，可执行）、

有限性（执行次数有限，执行时间有限）。

（2）程序：算法在某种具体程序语言下的具体表现，可以不满足算法的有限性性质（无限循环执行）。

总结：算法是程序的内在，程序是算法在结合程序设计语言下的问题解决的方案，程序在有限性上有别于算法。

2·算法的复杂性：

（1）算法复杂性的高低体现在运行该算法所需要的计算机资源上，所需资源量越多，该算法的复杂性越高；反之该算法的复杂性越低。

（2）时间复杂性，空间复杂性（其中N表示问题规模，I表示算法输入）。

（3）关于符号O的运算规则：

符号O用来评估算法的复杂性时，得到的是问题规模充分大时的一个上界，这个上界的阶位越低，则评估越准确。

（4）关于符号Ω：Ω评估算法复杂性时，得到的是问题规模充分大时的一个下界，这个下界的阶位越高，则评估越准确。

（5）关于符号：用来表示同阶。

（6）关于符号o：当有时，称f(N)的阶位比g(N)低。

3·NP完全性理论

（1）来源：如何区分一个问题的难易。

（2）区分：将多项式时间可以求解的问题称为易问题，超多项式时间求解的问题称为难问题。

（3）定义：1·确定性算法：设A是求解问题Ⅱ的一个算法，如果在算法的整个执行过程中，每一步只有一个确定选择，则称算法A是确定性算法。

2·p类问题：对于某个判定问题Ⅱ，存在一个非负整数k，对于输入规模为n的实例，能够以的时间运行一个确定性算法，得到肯定或否定答案，则该判定问题Ⅱ是一个p类问题。

3·非确定性算法：非确定性算法将问题分为猜测和验证两个阶段。算法的猜测阶段是非确定性的，给出问题解的一个猜测。算法的验证阶段是确定性的，验证猜测阶段给出的解的正确性。

4·NP类问题：对于某个判定问题Ⅱ，存在一个非负整数k，对于输入规模为n的实例，能够以的时间运行一个非确定性算法，得到一个是yes或者no的答案，则判定问题Ⅱ是一个NP类问题。（ TIPS：验证阶段存在一个确定性算法，能够以多项式时间来检查和验证猜测阶段所产生的答案。）

（4）p问题与NP问题的差别：p类问题可以用多项式时间的确定性算法来判定求解。NP类问题用多项式时间的非确定性算法判定求解

（5）p问题与NP问题的关系：

（6）常见的NP类问题：合取范式的可满足性问题CNF-SAT、三元合取范式的可满足性问题3-SAT、团问题CLIQUE、顶点覆盖问题 VERTEX-COVER、子集和问题SUBSET-SUM、哈密顿回路问题HAM-CYCLE、旅行售货问题TSP。

总结：（1）区分程序与算法的概念，明白算法的四大性质，了解程序有别于算法的一点：程序可以不满足有限性。

（2）掌握算法在最坏情况下，最好情况和平均情况下的计算复杂性概念。时间与空间资源不可能兼顾，常常要面对牺牲空间换取时间，或者相反的情况。

（3）算法复杂性与渐进性态的数学表述。当问题规模n到达一定的复杂程度，那么在时间T->∞时用复杂性O()来表述不同算法在阶位上的差别，此时以不同的阶位量级来区分不同算法的时间复杂度。

（4）了解NP问题的基本概念：p是一个判定问题类，这些问题可以用一个确定性算法在多项式时间内判定或解出。NP类问题并不要求给出一个算法来求解问题本身，只要求给出一个确定性算法在多项式时间内验证它的解。

二·习题（1-1~1-5）

1-1：思路：将函数化为最简形式，取其中的最高阶，即为其渐进表达式。

1-2：思路：由知识点2可知O()用来区分算法的不同阶位的复杂度。故O(1)与O(2)相差常数因子，二者在时间复杂度上阶位相同。

1-3：思路：按照渐进阶位排序即可

1-4：（1）设新机器用同一算法在t秒内能解决输入规模为n1的问题。则解得n1=n+6（由此可知运行速度的成倍提高反应在相同算法上解决同一问题时，问题的规模并非也是同倍提高。）

（2)n1=8n(由此可知，相比于硬件的提高，算法的改进或许能带来更大的提升。)

（3)T(n)=常数，故可以解决任意规模的问题（本体意在表明：算法的极致提高可以带来问题解决能力的极致增长）

1-5：（计算复杂性越高，单纯的硬件处理速度提升所带来的问题规模解决能力的收益越小）

三·算法实现

1一本书的页码从自然数1 开始顺序编码直到自然数n。书的页码按照通常的习惯编排，每个页码都不含多余的前导数字0。数字计数问题要求对给定书的总页码n(<=200000)，计算出书的全部页码中分别用到多少次数字0，1，2，…，9

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int main(){
    int N;
    int array[10]={0};
    scanf("%d",&N);
    for(int i=0;i<=N;i++){
        int x=i;
        while(x){
            array[x%10]++;
            x=x/10;
            
        }
    }
    for(int i=0;i<10;i++){
        printf("数字%d出现了%d次\n",i,array[i]);

    }

时间复杂度，外侧for循环（0~n）内嵌while循环（0~n），则时间复杂度为O(n^2).

四·图灵停机问题

判断任意一个程序是否能在有限的时间之内结束运行的问题。该问题等价于如下的判定问题：是否存在一个程序P，对于任意输入的程序w，能够判断w会在有限时间内结束或者死循环。艾伦·图灵在1936年用对角论证法证明了，不存在解决停机问题的通用算法。

五·N鸡问题

N鸡问题：用N元钱买N只鸡，公鸡每只5元，母鸡每只3元，小鸡1元3只，N元钱必须刚好买N只鸡，鸡必须整只买，有几种买法呢？

#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
int main()
{
    int n;
    int m=0;
    scanf("%d",&n);

    int i,j,k;
    for(k=0;k<=n;k+=3)
    {
    	i=(4*k)/3-n;
    	j=2*n-(7*k)/3;
    	if(5*i+3*j+k/3==n&&i>=0&&j>=0){ 
        printf("公鸡%d母鸡%d小鸡%d\n",i,j,k);
    	m++;
        }
	}
    printf("%d",m);
}