计硕二班-豆锐银-2022222230 第二章作业

计硕2班-豆锐银 2022-11-12 19:03:03

1. 概括第二章学习内容，总结第二章学习心得；

1.1 知识框图

1.2 学习心得

通过学习第二章节的知识，对于递归和分治有了进一步的了解。

首先，在递归技术的学习过程中，掌握了递归技术的概念，它其实就是用于去解决结构自相似的问题；可以直接或者间接的调用自身的算法，递归的两个过程；对于某一个问题使用递归求解时通常需要考虑两个要素：分别是边界条件以及递归方程（递归函数）；任何算法的有效执行都需要去分析算法的时间复杂度，而递归算法的时间复杂度我们主要是利用其建立算法基本操作执行次数的递推关系式，然后利用递推关系式的各种数学技巧来进行计算；对于常见的几种递归算法使用了python语言进行代码实现。

其次，在分治技术的学习中，掌握了它的基本设计思想，对于某个特定问题我们先判定该问题是否可以使用分治技术进行求解，如果该问题满足分治法的使用条件，我们可以通过分解，求解以及合并三步骤进行问题的求解。

最后，虽然掌握了以上知识，但对于以下几个问题的理解还存在诸多不足：1.在分治算法有关于大整数乘法的时间复杂度分析只理解部分，需要进一步去进行学习和推导相关复杂度分析的递推关系式。2.实现Strassen矩阵乘法的算法代码出现了问题，通过查找相关博客后得到了解决，但在解决此问题的过程中，也发现自己的编程能力非常一般，往后的学习过程中还需要多练习算法，包括对于算法的设计，优化以及时间复杂度的分析。

2. 描述Fibonacci数列递归算法，并进行时间复杂度分析；

2.1 斐波那契数列的描述：

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从 1963 年起出版了以《斐波那契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

2.2 代码部分：

#用递归的方法，加上while循环，把每次循环产生的新项增加到数列最后，最后一次性输出list
def fibonacci4(n):
    list = []
    i = 0
    while i < n:
        if i == 0 or i == 1:
            list.append(1)
        else:
            list.append(list[i-2] + list[i-1])
        i = i + 1
    print(list)
if __name__ == '__main__':
    n = int(input('Input a number:'))
    fibonacci4(n)

2.3 运行结果：键盘输入数字10和100所对应的运行结果如图所示：

2.4 时间复杂度分析

使用递归树的方式来计算斐波那契数列的时间复杂度

这里假设我们在递归的最后两层进行了n次操作

由斐波那契的递归树图我们可以看出，从下到上进行递归运算的时候，程序运行的次数是以2^x方式增加的。

我们来计算一下f(7)的运行次数

想要得到运行次数，首先我们要得到递归的深度，其中有2层为基本层

n = 7 - 2 = 5

计算运行次数

T(n) = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + n = 2^4 + n -1

如果递归的深度足够深的话，最后两个基数层的(n-1)次相比于2的指数级可以忽略不计，所以斐波那契的时间复杂度为

O(fib(n)) = O（2^n）

3. 请设计算法，输入适当整数n，计算前n个数的全排列，对算法进行时间复杂度分析；简要总结算法实验心得；

3.1 算法思想

很容易想到采用递归的思想，即N个数，只要前面N-1个数字已经生成的全排列，只用将N插入到这些排列中，生成新的排列顺序。

3.2 代码截图

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
def sort_print(List, start, end):
    if start >= end - 1:
        print(List)
    else:
        i = start
        for index in range(start, end):
            List[index], List[i] = List[i], List[index]
            sort_print(List, start + 1, end)
            List[index], List[i] = List[i], List[index]

if __name__ == '__main__':
    m = int(input('Input a number:'))
    List = [item + 1 for item in range(m)]
    sort_print(List, 0, m)

3.3 运行结果

3.4 时间复杂度分析

参数List存储n个不同元素，参数start指定待排列元素的首元素位置。
n-start为问题的规模,初始时,start=0，问题的规模为n，接下来规模依次递减1
根据sort_print(List,start+1)建立时间递推关系，设T(n)表示规模为n的耗时，则规模为n-1的耗时为T(n-1)，进入递归之前需要交换两个元素，递归回来之后又需要交换两个元素，耗时为常数O(1)，递归和交换元素需要做n-start次，初始start=0,故循环n次。该语句的递推式为:T(n)=n(T(n-1)+O(1))。

采用迭代法递推: