生成树的概念

迂者-贺利坚

烟台大学计算机学院教师

领域专家: 系统编程技术领域

2023-01-12 13:51:27

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生成树的概念

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本文深入探讨了图论中树和生成树的基本概念，包括它们的定义、性质以及在计算机科学中的应用。通过哥尼斯堡七桥问题引入树的定义，进而详细说明了树的无循环、连通性及顶点度数的特性。文中还探讨了生成树的概念及其在数据结构和算法中的实际应用，如使用深度优先搜索算法生成树，以及在数据压缩和网络优化中的重要性。

设一个无向连通图G=(V,E)，顶点个数记作m，边的数量为n。其对应的最小生成树记作f。则生成树T的性质有：边数量为m-1 没有圈加入任何一条边都会形成一个圈对于一颗生成树T，定义操作：在其上添加一条边，并在产生的圈里删除一条边，则：其仍然为一棵树。邻域：对于一个生成树T，执行一次上述操作所得到新的生成树T’称之为T的邻居，这些所有邻居和它自己一起构成T的邻域。精确：如果一个解是局部（邻域）最优解，那么其也是全局最优解，那么称这个邻域是精确的。对于定理1：树A和B是无向图的两个生成树，

生成树的特点： •子图的顶点和原图完全相同。・子图的部分是原图的子集，这一部分边刚好将图中所有顶点连通。・子图中的边不构成回路。满足上述条件的子图往往不只一个，这就导致生成树也不只一个。例如，下图中左图为一个无向图，右边的两个图均为该图的生成树。理论上可以证明，对于有n个顶点的连通图，其生成树有且只有n-1条边。如果边数少于此数就不可能将各顶点连通，如果边连接边的数量多于n-1，则必须要产生回路。在实际应用中的问题往往归结为带权无向图，对于一个带权连通图，生成树不同，树中各边上的权值总和也不同，

最小生成树是连通图的生成树；是图的极小连通子树，它包含图中的全部顶点，但只有构成一颗树的边。

完全图、连通图、非连通图、连通分量、强连通图、生成树的概念

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